Пусть задана матрицаA=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn), где n столбцов и m строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектораm−мерного пространства. То есть в таком виде: α1=(a11,a21,…,am1),α2=(a12,a22,…,am2),⋮αm=(a1n,a2n,…,amn). Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:
Определение. Пусть задана матрицаA=‖aij‖∈Mm×n(P). Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы A. Обозначение: rankA.
Примечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю. (000000000). Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.
Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектораn−мерного пространства, а именно: β1=(a11,a12,…,a1n),β2=(a21,a22,…,a2n),⋮βn=(am1,am2,…,amn). Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что rankA⩽min{n,m}, где n — количество столбцов матрицы A, а m — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.
Пример. Найти ранг матрицы A=(−132512−654−1−25163203−1009).Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: α1=(−1,5,2),α2=(3,4,0),α3=(2,−1,3),α4=(5,−25,−10),α5=(12,16,0),α6=(−6,3,9). В нашем случае она очевидна: α4=−5⋅α1,α5=4⋅α2,α6=−3⋅α3. Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, rankA=3.
Пример. Найти ранг матрицы A=(12−40−3678−2−480). Ранг столбцов равен 4. Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: (12−40−3678−2−480)∼(12−40011−580000)∼(12−40011−58).Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что rankA=2.
Определение: Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.
Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.
Пример: e1=<1,0,0> e2=<0,1,0> e3=<0,0,1> <e1,e2,e3>— Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.
Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.
Доказательство: Дана система S=<a1,a2,…,an> Необходимость
Пусть S1=<a1,a2,…,ak> база S.
Тогда по определению S1∼S и, если S2=<a1,a2,…,ak,aj>, где k+1≤j≤n, система линейно зависима, так как aj линейно вырожается через S1, следовательно S1 максимально линейно независима. Достаточность Пусть S1—максимально линейно независимая подсистема, тогда ∀aj где k+1≤j≤n. S2=<a1,a2,…,ak,aj>— линейно зависима ⇒S2 линейно вырожается через S1⇒S1∼S следовательно S1 база системы S.
Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы S вырожается через базу единственным образом.
Доказательство Пусть вектор a вырожается через базу двумя способами, тогда: a=α1e1+…+αkek a=β1e1+…+βkek, тогда α1e1+…+αkek=β1e1+…+βkek (α1−β1)e1+…+(αk−βk)ek=0 α1−β1=…=αk−βk=0⇒α1=β2,…,αk=βk
Определение: Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.
Свойства ранга: 1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — S1∼S2⇒ rank S1= rank S2.
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если S1⊂S2 и rank S1= rank S2, тогда S1 и S2 имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.
[свернуть]
Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.
Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим: (11111−102221−10130)
Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:
1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на −1, от третьей отнимим первую умноженную на −2, а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу S2 : S2=(11110−2−1100−1−30130)
2) Теперь в матрице S2, поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента a22 была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу S3 : S3=(111101300−2−1100−1−3)
3)В матрице S3 анулируем все элементы под элементом a22.
Поскольку вновь элемент a42 нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на 2. Получим матрицу S4 : S4=(11110130005100−1−3)
4)Вновь поменяем в матрице S4 строки 3 и 4 местами. Получим матрицу S5 : S5=(1111013000−1−30051)
5)В матрице S5 прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу S6, которая будет иметь треугольный вид: S6=(1111013000−1−3000−14)
Системы S1∼S6, их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank S1= rank S6=4
Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: A=(11112222005100−1−3)
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим: A=(11110000005100−1−3)
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.
Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система S=<e1,e2,e3,e4> где e1=(1,0), e2=(0,1), e3=(2,1) и e4=(1.5,3). Базой данной системы очевидно буду вектора e1 и e2, поскольку через них выражаются векторы e3,e4.
Данная система в графическом виде будет иметь вид:
