рациональная функция

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

$\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta$ Подынтегральная функция рационально зависит от $latex \sin x$ и $latex \cos x$ ; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$ ,

тогда $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ; $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$ $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим:

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка используйте замену $latex \cos x=t$ , а также свои знания по теме «Тригонометрические тождества»

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$ .

Отсюда $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

Подсказкаиспользуйте подстановку $latex t=2+3\sinh x$

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка: используйте гиперболиские соотношения

Спойлер

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ , и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$ или $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ; $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :

$latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

$latex \sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

$latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ .

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$ , $latex \cos x$ и $latex \sinh x$ , $latex \cosh x$ »

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: рациональная функция

Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат