Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}>0$

Если начиная с какого-то номера $n_{0}\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>n_{0}$ выполняется неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1$ $q\epsilon \mathbb{R}$ , то ряд сходится.
Если же $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}$ $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1$ , то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q$ для $n=1$ и $n=2$ .

$n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}$

$n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}$

Таким образом $\forall n$ будет справедливо неравенство $a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}$ . При этом ряд $\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}$ является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ тоже сходится.

Если $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1$ , то справедливо неравенство $a_{n+1}\geq a_{n}>0$ , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ ). Значит ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}>0$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K$

Тогда:

Если $K<1$ , то ряд сходится.
Если $K>1$ , то ряд расходится.
Если $K=1$ , то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть $\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K$ . Из определения предела запишем: $\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon$ . Если $K<1$ , то положим $\varepsilon =\frac{1-K}{2}$ , тогда $q=K+\varepsilon<1$ и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же $K>1$ , то положим $\varepsilon =\frac{K-1}{2}$ , тогда $q=K-\varepsilon>1$ , а значит ряд расходится. Для случая $K=1$ приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится и при этом $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1$ . В то же время ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ сходится и при этом $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1$ .

Пример

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}$ . Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме.

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1$ .

Значит исходный ряд сходится.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.271-272
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.10-12.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.20-21.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}>0$

Если начиная с какого-то номера $n_{0}\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>n_{0}$ выполняется неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1$ $q\epsilon \mathbb{R}$ , то ряд

Количество баллов: 2

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}>0$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K$

Тогда:

Элементы сортировки

то ряд сходится
то ряд расходится.
то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Если

$K<1$ ,

Если

$K>1$ ,

Если

$K=1$ ,

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Какие из данных рядов сходятся по признаку Даламбера?
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\cdot n!}{n^{n}}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{(n+5)\cdot 7^{n}}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+n-1}{4^{n}}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1) }$

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}\geq 0$

Если начиная с какого-то номера $n_{0}\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>n_{0}$ выполняется неравенство $\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1$ $q\epsilon \mathbb{R}$ , то ряд сходится.
Если же $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}$ $\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1$ , то ряд расходится.

Доказательство

Пусть $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}$ . Так как $0<q<1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$ будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ так же является сходящимся.

Если $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1$ , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ ). Значит ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}\geq 0$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K$

Тогда:

Если $K<1$ , то ряд сходится.
Если $K>1$ , то ряд расходится.
Если $K=1$ , то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть $\lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K$ . Из определения предела запишем: $\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon$ . Если $K<1$ , то $q=K+\varepsilon<1$ и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же $K>1$ , то $q=K-\varepsilon>1$ , а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}$ . Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся признаком Коши в предельной форме.

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1$ .

Значит исходный ряд сходится.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.270-271
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.12-14.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.22.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}\geq 0$

Если $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}$ $\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1$ , то ряд

Количество баллов: 2

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$a_{n}\geq 0$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K$

Тогда:

Элементы сортировки

то ряд сходится
то ряд расходится.
то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Если

$K<1$ ,

Если

$K>1$ ,

Если

$K=1$ ,

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Какие из данных рядов сходятся по признаку Коши?
- $\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{7n+1}{6n+5} \right )^{3n+2}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\left ( 3+\frac{1}{n} \right )^{n}}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}\frac{\pi n}{3}}{2^{n}}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{e^{n}}$

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$

$(B)$

Если, начиная с какого-то номера $N\varepsilon \mathbb{N}$ $\forall n>N$ выполняется неравенство $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ , тогда:

Из сходимости ряда $(B)$ следует сходимость ряда $(A)$ .
Из расходимости ряда $(A)$ следует расходимость ряда $(B)$ .

Доказательство

$(A)$ и $(B)$ — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов $(A)$ и $(B)$ обозначим как $S_{n}^{(A)}$ и $S_{n}^{(B)}$ . Из условия $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ можно сказать, что $S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}$ . Пусть ряд $(B)$ сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы $S_{n}^{(A)}$ ограничены, а значит $S_{n}^{(B)}$ также будут ограничены ( $S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}$ ). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд $(B)$ тоже будет сходиться.
Пусть ряд $(A)$ расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд $(B)$ сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд $(A)$ тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд $(B)$ расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$

$(B)$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K$

$0<K< +\infty$

Тогда:

Если ряд $(B)$ сходится и $K<+\infty$ , то ряд $(A)$ сходится.
Если ряд $(B)$ расходится и $K>0$ , то ряд $(A)$ расходится.

Доказательство

Пусть ряд $(B)$ сходится и $K< +\infty$ . Из определения предела запишем: $\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon$ . Из неравенства получим: $a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )$ . Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )$ сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда $(B)$ на постоянное число $K+\varepsilon$ . Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд $(A)$ сходится.
Если ряд $(B)$ расходится и $K>0$ , тогда отношение $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ имеет конечный предел $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty$ . Предположим что ряд $(A)$ сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд $(B)$ тоже сходится, что противоречит условию. Значит $(A)$ расходится.

Пример

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}$ . Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

$\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})$

Ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}$ сходится при $\alpha >1$ .

$\frac{3}{2}>1$ значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.264-270
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.8-10.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.16-18.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 2
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$ $(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$ $(B)$

Если, начиная с какого-то номера $N\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>N$ выполняется неравенство $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ , тогда:
- 1. Из сходимости ряда (B) следует ряда (A).
  2. Из ряда (A) следует расходимость ряда (B).
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 3
С помощью признака сравнения исследовать ряд на сходимость: $\sum_{n=1}^{\infty}2^{n} \sin\frac{1}{3^{n}}$
- Ряд сходится
- Ряд расходится

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$ ,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$ .
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$ .

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$ , а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда $(2)$ . Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$ ;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$ . Так как ряд $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$ , при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$ ,
Поскольку члены ряда $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$ .
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$ ,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$ .
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ . Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$ . Но в таком случае, в силу равенства $(4)$ , последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$ .

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ , составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ .

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2 из 2
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 247-259
Шипачев В.С., Высшая математика, учебник для спец. вузов /Под ред. акад. А.Н. Тихонова.- М.: Высш.шк., 1985.- 471 с., стр. 390-391 ил.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 394-406
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Признак сходимости для знакопеременных рядов: Даны ряды

$(1)$ $a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ и
$(2)$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ . Имеет место следующий признак
- Если ряд
- $(2)$
- сходится
- то сходится и ряд
- $(1)$
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Исследовать на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n}$
- Ряд (сходится)
Правильно

Применим признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем $\lim_{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\lim_{n\rightarrow \infty}\left |(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sin ^{2}n}{n}=0$
Поскольку $\sin ^{2}\leq 1$ . Следовательно данный ряд сходится.

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Рядом называется выражение вида:
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$
- $-a_{1}+a_{2}-a_{3}+...+a_{n}=S_{n}$
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=0$
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=lim_{n\rightarrow\infty }S_{n}$
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
К абсолютно сходящимся рядам относятся
- (сходящиеся) ряды, для которых ряды, составленные из их членов (сходятся).
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
К условно сходящимся рядам относятся…
- сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
- сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, сходятся.
- расходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
- расходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, сходятся.
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Доказательство

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Доказательство

Пример

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Доказательство

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Доказательство

Пример

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Формулировка

Элементы сортировки

3.

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Доказательство

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Доказательство

Пример

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Теорема 1

Доказательство

Пример 1

Пример 2

Абсолютная и условная сходимость рядов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов