Processing math: 100%

Метка: свойства бинарных отношений

Бинарные отношения на произвольных множествах. Примеры

Бинарные отношения на произвольных множествах.

Пусть заданы множества latexX и latexY, тогда бинарным отношением latexR из множества latexX в множество  latexY называется подмножество декартова произведения latexX и latexY:

latexR⊂X×Y.

Напомним свойства отношений:

Спойлер

Примеры:

1. Пусть latexA={1,2,7}, latexB={3,9}.

Задаем отношения:

latexR1={(1,9),(2,3),(2,9),(7,3)}⊂A×B;

latexR2={(1,2),(2,7),(7,1),(7,2),(7,7)}⊂A×A;

2. Пусть latexR⊆R, latexR={(x,y)|2x≥3y}, определить его свойства.

Решение:

— Не является рефлексивным, так как, например, latex(1,1)∉R.

— Не является антирефлексивным, так как, например, latex(−1,−1)∈R.

— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: latex(5,1)∈R, а latex(1,5)∉R.

— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие latex(x,y)∈R и latex(y,x)∈R, что latexy=x.

— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:

latexx=−1,y=−2,z=1, тогда latex2x≥3y,2y≥3z⇒2x≥3z, но latex−2≤3.

3. Пусть latexR⊆N2,

latexR={(x,y)|x ⋮ y=0},

определить его свойства.

Решение:

— Является рефлексивным, так как latexx ⋮ x=0.

— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.

— Не является симметричным, так как не обязательно, что latexy ⋮ x=0, например,

возьмем пару latex(10,2), latex10 делится на latex2, но latex2 не делится на latex10.

— Является антисимметричным, так как latexx ⋮ y=0 и latexy ⋮ x=0, когда latexx=y.

— Является транзитивным, так как latex x⋮ y=0,y ⋮ z=0⇒x ⋮ z=0.

Литература:

Бинарные отношения на произвольных множествах

Тестовые вопросы по изложенному материалу