Метка: Свойства нормы

Евклидовой нормой или длиной числа $x$ называется число:

$\left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+…+(x_n)^2}$

 

 Свойства нормы:

1.  $\left \| x \right \| \geq 0$ и $\left \| x \right \|=0$ тогда , когда $x=0$
2.  $\left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|$
3. $\left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|$
4. $\left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|$
5.  $\left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|$

В евклидовом пространстве $C[a,b]$ всех непрерывных на сегменте $a \leq t \leq b$ функций $x=x(t)$ со скалярным произведением $\int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt$ норма элемента $x=x(t)$ равна $\sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt}$ , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

•   $\left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt$  (неравенство Коши-Буняковского)

• $\sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt}$ (неравенство треугольника)

Литература:

• У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.