M2156. О равенстве четырехугольников

Условие

Вася и Петя нарисовали по выпуклому четырехугольнику. Каждый из них записал на листочке длины всех сторон своего четырехугольника и двух его диагоналей. В результате на их листочках оказались два одинаковых набора из 6 различных чисел. Обязательно ли четырехугольники Васи и Пети равны?

Ответ:

Не обязательно.

 Решение

Примером могут служить четырехугольники $latex ABCD $ и $latex KLMN $, изображенные на рисунке. Здесь $latex \triangle ABC = \triangle KLM, \triangle ACD = \triangle MNK $ и $latex BC = LN $

triangls

Поэтому наборы длин сторон и диагоналей для для данных четырехугольников одинаковые. Но очевидно что сами четырехугольники не равны ( так как, например, в четырехугольнике $latex ABCD $ ни одна из двух диагоналей не равна $latex LN $ ).

Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши

Пусть функция $latex f(x) $ определена в проколотой окрестности $latex 0(x^{0}) $ точки $latex x^{0} $ метрического пространства $latex X $. Говорят, что число $latex A $ есть предел функции $latex f(x) $ при $latex x \to x_{0} $ , если $latex \forall \varepsilon > 0 $ $latex \exists \delta > 0 $ такое, что для $latex \forall x \in O(x^{0}) $, удовлетворяющего условию $latex \rho(x, x^{0}) < \delta $,  выполнено неравенство $latex \left | f(x) — A \right | < \varepsilon $.

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция $latex f(x) $, определенная в $latex 0(x^{0}) $, имеет при $latex x \to x_{0} $ предел $latex A $, если для любой последовательности $latex x^{k} \in 0(x^{0}) $ такой, что $latex lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0} $, выполнено равенство $latex lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A $.

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что $latex lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 $ , если $latex a>0 $. Возьмем любое $latex \varepsilon > 0 $. Положим $latex \delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}} $. Пусть $latex (x,y) \in S_{\delta}(0,0) $, тогда $latex (x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon $ , т.е. $latex lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 $.

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Литература:

 

N-мерное пространство и операции в нем

Метрическое пространство

Будем множество $latex X $ называть метрическим пространством, если каждой паре элементов $latex x $ и $latex y $ этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число [latex] p(x,y) [/latex] , называемое расстоянием между элементами $latex x $ и $latex y $, такое, что для любых элементов $latex x $ , $latex y $, $latex z $ множества $latex X $ выполнены следующие условия:

  1. $latex p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y; $
  2. $latex p(x,y) = p(y,x); $
  3. $latex p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,…, z_n); $ (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию [latex] p(x,y) [/latex] , определенную на множестве пар точек метрического пространства $latex X $,  $latex p $ — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами [latex] \alpha [/latex]   и [latex] \beta [/latex] при помощи формулы $latex p(\alpha , \beta)= \left | \beta — \alpha \right | $  , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $latex R $. Рассмотрим множество пар вещественных чисел $latex x=(x_{1}+x_{2}) $. Если $latex x=(x_{1}+x_{2}) $, а $latex y=(y_{1}+y_{2}) $, то полагая $latex p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} $ , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $latex R^{2} $ .  

Метрическое пространство $latex R_{n} $

Точками пространства $latex R_{n} $  являются упорядоченные совокупности из $latex n $ вещественных чисел $latex x=(x_{1},..,x_{n}) $, $latex y=(y_{1},..,y_{n}) $, $latex z=(z_{1},..,z_{n}) $. Расстояние между точками $latex x $ и $latex y $ определяется формулой  $latex p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)} $ . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

Нормы в n-мерном пространстве.

Евклидовой нормой или длиной числа $latex x $ называется число:

[latex] \left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+…+(x_n)^2} [/latex]

 

 Свойства нормы:

  1.  [latex] \left \| x \right \| \geq 0 [/latex] и $latex \left \| x \right \|=0 $ тогда , когда $latex x=0 $
  2.  [latex] \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|[/latex]
  3. [latex] \left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|[/latex]
  4. [latex] \left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|[/latex]
  5.  [latex] \left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|[/latex]

В евклидовом пространстве $latex C[a,b] $ всех непрерывных на сегменте $latex a \leq t \leq b $ функций $latex x=x(t) $ со скалярным произведением $latex \int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt $ норма элемента $latex x=x(t) $ равна $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} $ , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

  •   $latex \left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt $  (неравенство Коши-Буняковского)
  • $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt} $ (неравенство треугольника)

Литература:

  • У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: [latex] (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2[/latex]. Справедливое для любых вещественных чисел [latex] a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n} [/latex]

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:[latex] p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} [/latex] , где [latex] A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 [/latex] ,  [latex] B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} [/latex] ,  [latex] C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 [/latex]. Так как квадратный трехчлен [latex] P(\xi) [/latex] принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  [latex] B^2-AC\leq 0 [/latex] . Подставляя в неравенство значения коэффициентов [latex] A [/latex], [latex] B [/latex] и [latex] C [/latex], получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского[latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}[/latex].

Используя неравенство Коши, получаем: [latex] \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq[/latex] [latex] \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2= [/latex] [latex] (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2 [/latex]

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского [latex] a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} [/latex] , получаем неравенство [latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}[/latex] т. е. неравенство треугольника для расстояния $latex p(x,y) $.

Литература: