свойства скалярного произведения

Пусть заданы два ненулевых вектора $a$ и $b$ , число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, назовем их скалярным произведением.

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$ В случае, если хотя бы один из векторов нулевой, будем считать их скалярное произведение равным нулю.

Также существуют другие определения скалярного произведения векторов.

Определение 2. Пусть заданы два ненулевых вектора, число, равное произведению длины первого и величины проекции второго вектора на первый, назовем их скалярным произведением.

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$

Определение 3. Пусть два произвольных вектора заданы своими координатами, число, равное сумме произведений соответствующих координат, назовем скалярным произведением этих векторов.

Докажем эквивалентность первого и второго определений, эквивалентность третьему будет доказана позднее.

Лемма. Первое и второе определения эквивалентны, т.е.

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}.$

Воспользуемся определением проекции вектора на ось (другой вектор), откуда получим, что $\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$ . Домножив обе части полученного равенства на $\left|a\right|$ получим искомое равенство.

Алгебраические свойства

$\left( a,b \right) = \left( b,a \right)$ (коммутативность).

Если хотя бы один вектор нулевой, то равенство достигается по определению. Рассмотрим случай ненулевых векторов:
$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right).$ Умножение коммутативно, следовательно $\left|a\right|\left|b\right| = \left|b\right|\left|a\right|$ . Также $\cos\angle\left(a,b\right) = \cos\angle\left(b,a\right)$ . Тогда, по определению:
$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|b\right|\left|a\right|\cos\angle\left(b,a\right) = \left( b,a \right).$

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\}$ .
$\left(\lambda a,b \right) = \lambda\left( a,b \right)$ , $\forall\lambda\in\mathbb{R}$ .

Если один из векторов нулевой или $\lambda = 0$ , то доказательство очевидно. Рассмотрим общий случай:
$\left(\lambda a,b \right) = \left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right),$ если $\lambda > 0$ , то
$\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = \lambda\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left( a,b\right) = \lambda\left(a,b\right),$ если $\lambda < 0$ , то
$\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = -\lambda\left|a\right|\left|b\right|\left(-\cos\angle\left( a,b\right)\right) = \lambda\left(a,b\right).$

$\left(a,\lambda b\right) = \left(\lambda b, a\right) = \lambda\left(b, a\right)$ .
$\left(a+c,b\right) = \left(a,b\right)+\left(c,b\right)$ .

Воспользуемся вторым определением и свойствами величины проекции вектора.
$\left(a+c,b\right) = \left|b\right|\left\{pr_{b}\left(a+c\right)\right\} = \left|b\right|\left(\left\{pr_{b}a\right\}+\left\{pr_{b}c\right\}\right) =$
$= \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\} + \left|b\right|\left\{pr_{b}c\right\} = \left(b,a\right) + \left(b,c\right) = \left(a,b\right) +\left(c,b\right).$
$\left(a,a\right)\geqslant 0$ , если $\left(a,a\right)=0 \Leftrightarrow a = 0$

Если $a=0$ доказательство очевидно. Пусть $a\neq0$ , тогда $\cos\angle\left(a,a\right) = 1$ , следовательно:
$\left(a,a\right) = \left|a\right|\left|a\right|\cos\angle\left(a,a\right) = \left|a\right|\left|a\right| = \left|a\right|^{2}\geqslant 0.$

$\left|a\right|=\sqrt{\left(a,a\right)}$ .

Пусть заданы векторы $a$ и $b$ , тогда выполняется неравенство:

Сначала рассмотрим случай равенства:

$\left|a\right|\left|b\right|\left(\cos\angle\left(a,b\right) — 1\right) = 0,$

$\left[ \begin{array}{1 1} \left|a\right| = 0, \\\left|b\right| = 0, \\\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right| = 1 \Rightarrow a\|b.\end{array}\right.$ Таким образом равенство достигается в случае коллинеарных или нулевых векторов. Теперь рассмотрим общий случай. Пусть даны два ненулевых вектора

$a$ и

$b$ , тогда

$\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant 1,$ домножим обе части на длины векторов

Геометрические свойства

Рассмотрим геометрические свойства скалярного произведения двух ненулевых векторов, тогда $\left|a\right|\neq 0$ и $\left|b\right|\neq 0$ .

$\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый.

$\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый
$\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой.

$\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой
$\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a\perp b$ .

$\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a \perp b$ .

Также из определения вытекает формула для нахождения косинуса угла между векторами:

$\cos\angle\left(a,b\right) = \frac{\left(a,b\right)}{\left|a\right|\left|b\right|}$

Скалярное произведение в координатах

Теорема. Пусть два вектора заданы своими координатами, тогда их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$

$\left(a,b\right) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Рассмотрим два способа доказательства:

I способ

Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ , отложим векторы $\overline{\rm OA} = a$ и $\overline{\rm OB} = b$ от начала координат — точки $O\left(0,0,0\right)$ . Тогда:

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\cos\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right).$

По построению:

$A\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OA}\right| = \sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2},$

$B\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OB}\right| = \sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2}.$ Теперь необходимо найти

$\cos\angle\left(a,b\right) = \cos\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right)$ , для этого воспользуемся теоремой косинусов для

$\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right) = \angle AOB$ :

$\cos\angle AOB = \frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2 + \left|\overline{\rm OB}\right|^2 — \left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|},$ где

$\left|\overline{\rm AB}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^2+\left(y_{1}-y_{2}\right)^2+\left(z_{1}-z_{2}\right)^2}$ .

Теперь найдем скалярное произведение:

$\left( a,b \right)=\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\cos\angle AOB=\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2+\left|\overline{\rm OB}\right|^2-\left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|} =$

$= \frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2+\left|\overline{\rm OB}\right|^2-\left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2}=$

$=\frac{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2+x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2-\left(x_{1}-x_{2}\right)^2-\left(y_{1}-y_{2}\right)^2-\left(z_{1}-z_{2}\right)^2}{2} =$

$=\frac{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2+x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2-x_{1}^2+2x_{1}x_{2}-x_{2}^2-y_{1}^2+2y_{1}y_{2}-y_{2}^2-z_{1}^2+2z_{1}z_{2}-z_{2}^2}{2}=$

$=\frac{2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2}+2z_{1}z_{2}}{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Это доказательство можно провести и в обратную сторону, таким образом доказана эквивалентность первого и третьего определений.

II способ

Пусть система координат задана единичными взаимно перпендикулярными векторами $i,j,k$ (базисные векторы), тогда

$\left(i,j\right)=\left(i,k\right)=\left(j,k\right)=0,$

$\left(i,i\right)=\left(j,j\right)=\left(k,k\right)=1.$ А векторы

$a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ можно представить в виде сумм:

$a = x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,$

$b = x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k.$

Теперь воспользуемся алгебраическими свойствами скалярного произведения:

$\left(a,b\right)=\left(x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$

$= x_{1}\left(i,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + y_{1}\left(j,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + z_{1}\left(k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$

$= x_{1}x_{2}\left(i,i\right)+x_{1}y_{2}\left(i,j\right)+x_{1}z_{2}\left(i,k\right)+y_{1}x_{2}\left(j,i\right)+y_{1}y_{2}\left(j,j\right)+y_{1}z_{2}\left(j,k\right)+$

$+ z_{1}x_{2}\left(k,i\right)+z_{1}y_{2}\left(k,j\right)+z_{1}z_{2}\left(k,k\right)=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Для ненулевых векторов $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$

$\cos\angle\left(a,b\right) = \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2}\sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2}}.$

Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ ,

$a \perp b \Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} = 0$

Примеры решения задач

Даны векторы $a=\left(2,5,-1\right)$ и $b=\left(3,2,15\right)$ . Найти скалярное произведение $\left(a,b\right)$ .

Решение

Воспользуемся определением через координаты, тогда:
$\left(a,b\right)=2\cdot3+5\cdot2-1\cdot15=1$
Даны векторы $a=\left(7,11,x\right)$ , $b=\left(10,-5,3\right)$ , $a\perp b$ . Найти $x$ .

Решение

Воспользуемся следствием для перпендикулярных векторов:
$a\perp b \Leftrightarrow \left(a,b\right)=0$
$7\cdot10-11\cdot5+3x=0$
$3x=-15$
$x=-5$
Даны векторы $a$ и $b$ , $\displaystyle\left|a\right|=15, \left|b\right|=\frac{1}{3}, \angle\left(a,b\right)=\frac{2\pi}{3}$ . Найти их скалярное произведение.

Решение

Воспользуемся стандартным определением:
$\left(a,b\right)=\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=$
$=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=$
$=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.5$
Найти угол между векторами $a$ и $b$ , если они заданы своими координатами: $a=\left(6,3,0\right)$ , $b=\left(-2,-1,\sqrt{5}\right)$ .

Решение

Воспользуемся следствием для нахождения косинуса:
$\cos\angle\left(a,b\right)=\frac{-6\cdot2-3\cdot1+0\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{6^2+3^2+0^2}\sqrt{\left(-2\right)^2}\left(-1\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2} = \frac{-15}{15\sqrt{2}}=-\frac{1}{2},$
$\cos\angle\left(a,b\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \angle\left(a,b\right)=\frac{3\pi}{4}$
Найти скалярное произведение векторов $p$ и $q$ , если $p=2a-b$ , $q=3b+4a$ , где $\left|a\right|=4$ , $\left|b\right|=3$ , $\displaystyle\angle\left(a,b\right)=\frac{\pi}{3}$ .

Решение

Воспользуемся стандартным определением и алгебраическими свойствами:
$\left(a,b\right)=\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=3\cdot4\cdot\frac{1}{2}=6,$
$\left(a,a\right)=\left|a\right|^2=16, \left(b,b\right)=\left|b\right|^2=9,$
$\left(p,q\right)=\left(2a-b,3b+4a\right)=3\left(2a-b,b\right)+4\left(2a-b,a\right)=$
$=6\left(a,b\right)-3\left(b,b\right)+8\left(a,a\right)-4\left(b,a\right)=2\cdot6+8\cdot16-3\cdot9=113$
Дан вектор $a=\left(6,-11,2\sqrt{3}\right)$ и вектор $b=\left(\sqrt{3},13,-3\right)$ . Найдите $\left\{pr_{a}b\right\}$ .

Решение

Воспользуемся определением через проекции и определением через координаты:
$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$
$\left\{pr_{a}b\right\}=\frac{\left( a,b \right)}{\left|a\right|}=\frac{6\cdot\sqrt{3}-11\cdot13-3\cdot2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{\left(6\right)^2+\left(-11\right)^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}}=$
$=\frac{-11\cdot13}{13}=-11$

Скалярное произведение векторов

Тест на знание темы «Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление»

Смотрите также

Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980 (стр. 85-88)
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. — 7-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224с. — (Курс высшей математики и математической физики.) (стр. 59-63)
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-еизд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240с. (стр. 148-153)
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление

Алгебраические свойства

Геометрические свойства

Скалярное произведение в координатах

Примеры решения задач

Скалярное произведение векторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Подсказка

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Средний результат
Ваш результат