Свойства коммутативности и ассоциативности



Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции \circ , при котором выполняется условие: \forall \ x,y \in \mathbb{P}: (x\circ y)=(y\circ x) , где \mathbb{P} — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции \circ , при котором выполняется условие: \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) , где \mathbb{P} — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций \oplus и \otimes на одном и том же некотором рассматриваемом множестве \mathbb{P} , при котором выполняется условие левой: \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: x\otimes (y\oplus z) =(x\otimes y)\oplus(x\otimes z) ; и/или правой: (y\oplus z) \otimes x =(y\otimes x)\oplus(z\otimes x) дистрибутивности.

Примеры

  1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.
    Спойлер

    Умножение матриц
    Пусть \small A \in \mathbb{M} _{m \times p} ,B \in \mathbb{M} _{p \times n}: \small C=A\times B;\ C \in \mathbb{M} _{m\times n} \Rightarrow \small c_{ij}= \underset{k=1} {\overset{p} {\sum}}a_{ik}b_{kj} . Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как \small\forall \ A,B \in \mathbb{M}_{n} \ A\times B \overset{?}{=} B\times A, если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как \small \underset{k=1} {\overset{m} {\sum }}a_{ik}b_{kj}\overset {?}{=} \underset{k=1}{ \overset{m}{\sum}}b_{ik}a_{kj}, то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными \small A^{T}=A). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

    [свернуть]
  2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
    \forall x,y,z \in \mathbb{P}: (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) , то в выражении a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n}, \,a_{i} \in \mathbb{P} i=\overline{1,n} результат не зависит от того, как мы расставим скобки.
    Спойлер

    Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
    База индукции:
    Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: \small \forall \,a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{P}: \small ( a_{1}\circ a_{2})\circ a_{3}= a_{2}\circ (a_{1}\circ a_{3}) . База индукции доказана.
    Предположение индукции:
    \small \forall \,n \in \mathbb{N}: результат выражения \small a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n} \, не зависит от порядка расстановки скобок.
    Шаг индукции:
    Пусть предположение индукции справедливо для \small \forall \, n \in \mathbb{N} , докажем, что тогда оно справедливо и для \small n+1 .
    Пусть \small 1\leq p\leq m< n+1 . То есть можно задать справедливое разбиение: \small a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n} = \small (a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ \small (a _{p+1} \circ ... \circ a _{m-1} \circ a _{m})\circ \small (a _{m+1} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) . Произведём замену:
    \small (a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{p-1} \circ a _{p}) = a
    \small (a _{p+1} \circ ... \circ a _{m-1} \circ a _{m}) = b
    \small (a _{m+1} \circ ... \circ a _{n} \circ a _{n+1}) = c
    По базе индукции имеем \small (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c ), то есть \small [ (a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ \small (a _{p+1} \circ ... \circ a _{m-1} \circ a _{m}) ] \circ \small (a _{m+1} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1})= \small (a _{1} \circ a _{2} \circ ... \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ \small [ (a _{p+1} \circ ... \circ a _{m-1} \circ a _{m}) \circ \small (a _{m+1} \circ ... \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) ].
    В силу свободы выбора \small p, m, и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

    [свернуть]
  3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.
    Спойлер

    Пусть A \in \mathbb{M} _{m\times n}; B,C \in \mathbb{M} _{n\times m}, докажем, что A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C. Заметим, что A=\left \| a_{ij} \right \|,B=\left \| b_{ji} \right \|,C=\left \| c_{ji} \right \|,i=\overline{1,m},j =\overline{1,n}, тогда A\cdot (B+C)=\ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} \right \| + \left \| c_{ji} \right \|)=\ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} + c_{ji} \right \|) = \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot (b_{ji} + c_{ji})\right \| = \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} + \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \|=\ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} \right \| + \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \| = \ A\cdot B+A\cdot C.
    Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

    [свернуть]

Источники:

Основные свойства бинарных алгебраических операций.


Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *