Множество всех подстановок порядка [latex]n[/latex] с операцией умножения подстановок образуют группу [latex]S_n[/latex]. Единичным элементом группы является подстановка [latex]e=

$$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}$$ [/latex], обратной подстановкой для [latex]\pi= $$\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix}$$ [/latex] является [latex]\pi^{-1}= $$\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}$$ [/latex]. Порядок этой группы равен [latex]n![/latex].
Группа [latex]S_n[/latex] называется симметрической группой порядка [latex]n[/latex] .
При [latex]n>2[/latex] группа [latex]S_n[/latex] не коммутативна.

Пример

Группа [latex]S_3[/latex] состоит из шести элементов: [latex]e=

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$$ , $$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$$ .[/latex] Эта группа не коммутативна: произведение [latex] $$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$$ [/latex] равно [latex] $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$$ [/latex], что отлично от [latex] $$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$$ [/latex].

Задача

Доказать, что порядок группы [latex]S_n[/latex] равен [latex]n![/latex].

Источники

• Кострикин А.И. «Введение в алгебру», 1994, стр.60
• Конспект лекций Г.С.Белозёрова