Интеграл Эйлера-Пуассона
Определение
Интеграл вида
∞∫0e−x2dx=12√π
называется интегралом Эйлера-Пуассона.
Вычисление
Для вычисления интеграла Эйлера-Пуассона, обозначаемого буквой I, следует провести замену переменной интегрирования, после чего найти значение интеграла, являющегося квадратом искомого интеграла Эйлера-Пуассона — I2. При подсчёте последнего следует учесть и обосновать проведение в нём изменения порядка интегрирования. Интеграл I2 путём замены переменной сведём к подсчёту табличного интеграла, а его значение равняется π4. Откуда и получен искомый результат интеграла Эйлера-Пуассона I=√π2.
∞∫0eu2du=[u=xydu=ydxu∈(0;+∞)x∈(0;+∞)]=∞∫0y⋅e−(xy)2dx= =y⋅∞∫0e−(xy)2dx=I.
Рассмотрим следующее равенство:
∞∫0y⋅e−y2dy∞∫0e−(x⋅y)2dx=∞∫0e−y2dy⋅∞∫0e−u2du=
=[∞∫0e−u2du⋅∞∫0e−u2du]=I2.
I2=∞∫0e−y2dy⋅y∞∫0e−(x⋅y)2dx=∞∫0dx∞∫0y⋅e−y2−(x⋅y)2dy=
=∞∫0dx∞∫0y⋅e−y2⋅(1+x2)dy=
={12∞∫02⋅y⋅e−y2⋅(1+x2)dy=[t=y2;2⋅y=dt]=
=12⋅∞∫0e−t⋅(1+x2)dt=12⋅e−t⋅(1+x2)−(1+x2)|∞0=12⋅(1+x2)}=∞∫0dx12⋅(1+x2)=
=12∞∫0dx1+x2=12arctanx|∞0=12⋅π2=π4.
I2=π4,I=√π2.
Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция)
Определение
Эйлеровым интегралом первого рода (бета-функцией) называется функция вида
B(α,β)=1∫0xα−1⋅(1−x)β−1dx.(1)
График бета-функции можно посмотреть здесь.
Теорема (о свойствах интеграла первого рода)
Бета-функция имеет следующие свойства:
-
Область определения
Для сходимости интеграла (1) при x=0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: α>0, а для сходимости интеграла при x=1 необходимо и достаточно, чтобы β>0.
-
Симметричность
B(α,β)=B(β,α).
ДоказательствоB(α,β)=1∫0xα−1⋅(1−x)β−1dx=
=[x=1−tx=0t=1dx=−dtx=1t=0]=
=−0∫1(1−t)α−1⋅(⧸1−⧸1+t)β−1dt=1∫0tβ−1⋅(1−t)α−1dt=
=B(β,α).[свернуть] -
Формула понижения
При α>1
B(α,β)=α−1α+β−1⋅B(α−1,β).
ДоказательствоB(α,β)=1∫0xα−1⋅(1−x)β−1dx=
=[u=xα−1dv=(1−x)β−1dxdu=(α−1)⋅xα−2v=(1−x)β−β]=
=−xα−1⋅(1−x)ββ|∞0+α−1β⋅1∫0xα−2⋅(1−x)βdx=
=α−1β⋅1∫0xα−2⋅((1−x)β−1⋅(1−x))dβ=
=α−1β⋅1∫0xα−2⋅((1−x)β−1−x⋅(1−x)β−1)dβ=
=α−1β⋅(B(α−1,β)−B(α,β));
B(α,β)=α−1β⋅B(α−1,β)−α−1β⋅B(α,β));
B(α,β)(1+α−1β)=α−1β⋅B(α−1,β);
B(α,β)(β+α−1β)=α−1β⋅B(α−1,β);
B(α,β)=α−1⧸β⋅⧸ββ+α−1⋅B(α−1,β)=α−1α+β−1⋅B(α−1,β).[свернуть] -
Интегральное представление бета-функции
Интегральным представлением бета-функции называется функция вида
B(α,β)=∞∫0yα−1(1+y)α+βdy.
ДоказательствоB(α,β)=1∫0xα−1⋅(1−x)β−1dx=
=[x=y1+ydx=1+⧸y−⧸y(1+y)2dy=1(1+y)2dy1−x=1−y1+y=1+⧸y−⧸y(1+y)dy=1(1+y)x=0y=0x=1x=y1+y−1=0y→∞1(1+y)=0]=
=∞∫0(y1+y)α−1⋅(1(1+y))β−1dy(1+y)2=∞∫0yα−1(1+y)α−1+β−1+2dy=∞∫0yα−1(1+y)α+βdy.[свернуть]
Примеры
-
Пример 1
∞∫0y−121+ydy= ∞∫0dy√y⋅(1+y)= [y=z2]= ∞∫02⋅⧸zdz⧸z(1+z2)= 2⋅∞∫0dz1+z2= =2⋅arctanz|∞0= 2⋅π2= π.
[свернуть] -
Пример 2
I=1∫0xp−1⋅(1−xm)q−1dxp,q,m>0
I=[xm=tx=m√t=t1mx=0t=0dx=1m⋅t1m−1dtx=1t=1]=
=1∫0(t1m)p−1⋅(1−t)q−1⋅1m⋅t1m−1dt=
=1m⋅1∫0tp−1+1−mm⋅(1−t)q−1dt=
=1m⋅1∫0tpm−1⋅(1−t)q−1dt=1m⋅B(pm;q).[свернуть] -
Пример 3
B(12;12)=1∫0t12−1⋅(1−t)12−1dt=1∫0dt√t⋅√1−t=
=[t=cos2φ√cos2φ=cosφ√1−cos2φ=dt=2⋅cosφ⋅(−sinφ)dφ=√sin2φ=sinφt=0φ=π2t=1φ=0]=
=−π2∫02⋅⧸cosφ⋅⧸sinφdφ⧸cosφ⋅⧸sinφ=2⋅∫π20dφ=⧸2⋅π⧸2=π.[свернуть] -
Пример 4
B(1,b)=1∫0t1−1⋅(1−t)b−1dt=
=[t=cos2φdt=2⋅cosφ⋅(−sinφ)dφt=0φ=π2t=1φ=0]= =π2∫0(sin2φ)b−1⋅2⋅cosφ⋅sinφdφ=
=2⋅π2∫0sin2⋅b−2φ⋅cosφ⋅sinφdφ=
=2⋅π2∫0sin2⋅b−1φ⋅cosφdφ= [t=sinφdt=cosφdφφ=0t=0φ=π2t=1]=
=2⋅π2∫0t2⋅b−1dt=⧸2⋅t2⋅b⧸2⋅b|10=1b−0=1b.[свернуть]
Тесты на проверку усвоенного материала по бета-функции Эйлера
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Математический анализ 0%
-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 3Рубрика: Математический анализКак называется равенство вида B(α,β)=α−1α+β−1⋅B(α−1,β) ?
- Данное равенство называется формулой (понижения).
Правильно
Указанное равенство возможно только при α>1
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 3Рубрика: Математический анализЗапишите выражение, пропущенное в формуле бета-функции: B(α,β)=1∫0xα−1⋅(…)β−1dx.
Правильно
Неправильно
Выражение 1-х является пропущенным в формуле бета-функции.
-
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 2Рубрика: Математический анализОпределите, чему равняется B(m,n).
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 6Рубрика: Математический анализИз данного списка выберите функции, которые определяют бета-функцию.
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 6Рубрика: Математический анализОбразуйте соответствие между равными значениями.
Элементы сортировки
- B(7,3)
- B(9,4)
- B(3,2)
-
B(3,7)
-
B(4,9)
-
B(2,3)
Правильно
Неправильно
Подсказка
Для ответа на данный вопрос используйте свойство симметричности.
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по бета-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
Рубрики
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
Эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция)
Определение
Γ(α)=∞∫0xα−1⋅e−xdx.(2)
Функция, определённая интегралом (2), называется эйлеровым интегралом второго рода (гамма-функция).
График гамма-функции
Графическое изображение интеграла второго рода
Теорема (о свойствах гамма-функции Эйлера)
Гамма-функция имеет следующие свойства:
-
Область определения
Для сходимости интеграла (2) в нуле требуется, чтобы выполнялось условие α>0. На бесконечности интеграл (2) сходится при
любом α∈R, так как множитель e−x убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной x.
Таким образом, функция (2) определена при α>0. -
Формула для производных гамма-функции
Производная гамма-функции Эйлера определяется формулой
Γn(α)=∞∫0xα−1e−xlnnxdx.(3)
ДоказательствоПри получении формулы (3) было проведено дифференцирование гамма-функции Эйлера (2), для чего операция дифференцирования была внесена под знак интеграла:
Γ′(α)=ddα∞∫0xα−1⋅e−xdx=∞∫0ddα⋅xα−1⋅e−xdx=
=∞∫0xα−1⋅e−x⋅lnxdx,
Γ»(α)=ddα∞∫0xα−1⋅e−x⋅lnxdx=∞∫0xα−1⋅e−xln2xdx,….
Для законности этой операции необходимо доказать равномерную сходимость относительно параметра α интеграла (3) при n∈N
на каждом отрезке [a;b]∈(0;+∞).
Если 0<a≤α, то т.к xα2⋅lnnx→0 при x→0 найдётся такое число
cn>0, что
|xα−1⋅e−x⋅lnnx|<xα2−1
при 0<x≤cn.
На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл ∫cn0xα−1⋅e−x⋅lnnxdx
сходится равномерно по α на промежутке [a;+∞].
Если α≤b<+∞, то при x≥1
|xα−1⋅e−x⋅lnnx|≤xb−1⋅e−x⋅|lnnx|.
На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл ∫+∞cnxα−1⋅e−x⋅lnnxdx
сходится равномерно по α на промежутке (0;b).Таким образом,интеграл (3) сходится равномерно по α на любом
отрезке [a;b]∈(0;+∞). А это означает, что дифференцирование под знаком интеграла законно.
Следовательно, на всём промежуткеα>0 гамма-функция бесконечно дифференцируема и для неё справедлива формула (3).[свернуть] -
Формула понижения
Соотношение вида
Γ(α+1)=α⋅Γ(α)
называется формулой понижения для гамма-функции Эйлера.
ДоказательствоΓ(α+1)=∞∫0xα⋅e−xdx=[u=xαdv=e−xdxdu=α⋅xα−1dxv=−e−x]=
=xα⋅e−x|∞0+α⋅∞∫0xα−1e−xdx=α⋅Γ(α).
Замечание
Γ(1)=∞∫0e−xdx=1. Из этого свойства гамма-функции вытекает, что при n∈N:
Γ(n)=n⋅Γ(n)=n⋅(n−1)⋅Γ(n−1)= =n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅Γ(n−2)=…= =n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅1=n!.
То есть Γ(n)=n!.[свернуть] -
Формула Эйлера-Гаусса
Равенство вида
Γ(α)=limn→∞nα⋅(n−1)!α⋅(α+1)⋅…(α+n−1)
называется формулой Эйлера-Гаусса.
ДоказательствоВ интеграле Γ(α)=∞∫0xα−1⋅e−xdx проделаем замену.
Γ(α)=[x=ln1udx=11u⋅(1u)′=u⋅(−1u2)=−1udux=0ln1u=0u=1x=∞ln1u=∞u=0]=
=0∫1(ln1u)α−1⋅eln(1u)−1d(−1u)du=1∫0(ln1u)α−1⋅(1u)−1⋅(1u)du=
=1∫0(ln1u)α−1⋅⧸u⋅1⧸udu=1∫0(ln1u)α−1du.(4)
Формула (4) является иным интегральным представлением гамма-функции Эйлера. Используем соотношение:
1∫0(ln1u)α−1⋅(1u)du=limn→∞nα−1⋅1∫0(1−u1n)α−1du.
Проделаем замену переменной u=vn.
Γ(α)=limn→∞nα−1⋅1∫0(1−(vn)1n)α−1⋅n⋅vn−1dv=
=[du=n⋅vn−1dv]=limn→∞nα⋅1∫0(1−v)α−1⋅vn−1dv=
=limn→∞nα⋅B(n,α)=limn→∞nα⋅B(α,n)=
=limn→∞nα⋅(n−1)!α⋅(α+1)⋅…⋅(α+n−1).[свернуть] -
Связь между бета- и гамма-функцией
Связь бета- и гамма-функции определяется формулой
B(α,β)=Γ(α)⋅Γ(β)Γ(α+β).
ДоказательствоИспользуем интегральное представление бета-функции. Для этого проведём замену переменной
B(x,y)=1∫0tx−1⋅(1−t)y−1dt=[t=τ1+τ]=
=∞∫0τx−1(1+τ)x−1⋅(11+τ)y−1dτ(1+τ)2=[dt=1+τ−τ(1+τ)2dτ]= =∞∫0τx−1(1+τ)x+ydτ.
В интегральном представлении гамма-функции также проведём замену переменной:
Γ(α)=∞∫0xα−1⋅e−xdx=[x=s⋅udx=uds]=
=∞∫0(s⋅u)α−1⋅e−s⋅u⋅uds=∞∫0sα−1⋅uα⋅e−s⋅uds.
Откуда
Γ(α)uα=∞∫0sα−1⋅e−s⋅uds.(5)
Положим в формуле (5)α=x+y,u=1+τ:
Γ(x+y)(1+τ)x+y=∞∫0sx+y−1⋅e−s⋅(1+τ)ds.
Умножим обе части полученного равенства на τx−1 и проинтегрируем на промежуткеτ∈(0;+∞):
Γ(x+y)⋅∞∫0(1+τ)−x−y⋅τx−1dτ=
=∞∫0τx−1∫∞osx+y−1⋅e−s⋅(1+τ)dsdτ.
Подсчитаем интеграл в правой части полученного соотношения:
∞∫0sx+y−1ds∞∫0τx−1⋅e−s⋅(1+τ)dτ=
=∞∫0sx+y−1⋅e−sds⋅∞∫0τx−1⋅e−s⋅tdτ=
=[t=s⋅ττ=tsdt=sdτ]=
=∞∫0sx+y−1⋅e−sds∞∫0tx−1sx−1⋅e−tdts=
=∞∫0⧸sx+y−1⋅e−sds∞∫0tx−1⋅e−t⧸sdt=∞∫0sy−1⋅e−sds∞∫0tx−1⋅e−tdt=
=Γ(y)⋅Γ(x);Γ(x+y)⋅B(x,y)=Γ(y)⋅Γ(x).
B(x,y)=Γ(y)⋅Γ(x)Γ(x+y).[свернуть]
Примеры
-
Пример 1
1∫0lnp1xdx=[1x=etx=e−tx=1t=∞dx=−e−tdtx=0t=∞]=
=−∞∫0lnp(et)⋅e−tdt=∞∫0lnp(et)dtet=∞∫0(lnet)pdtet=∞∫0tp⋅e−pdt= =Γ(p+1).[свернуть] -
Пример 2
1∫0√t−t2dt=1∫0√t⋅(1−t)dt=1∫0t12⋅(1−t)12dt=
=1∫0t32−1⋅(1−t)32−1dt=B(32;32)=Γ(32)⋅Γ(32)Γ(32+32)=(Γ(1+12))2Γ(3)=
=[Γ(3)=2Γ(12)=∞∫0t−12⋅e−tdt=√π]=12⋅(12⋅Γ(12))2=
=12⋅14⋅π=π8.[свернуть]
Тесты на проверку усвоенного материала по гамма-функции Эйлера
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Математический анализ 0%
-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 6Рубрика: Математический анализРасставьте ниже приведенные выражения в таком порядке, чтобы в результате получился правильный процесс замены переменной u=vn в соотношении 1∫0(ln1u)α−1⋅(1u)du=limn→∞nα−1⋅1∫0(1−u1n)α−1du..
-
Γ(α)=limn→∞nα−1⋅1∫0(1−(vn)1n)α−1⋅n⋅vn−1dv=
-
=[du=n⋅vn−1dv]=
-
=limn→∞nα⋅1∫0(1−v)α−1⋅vn−1dv=
-
=limn→∞nα⋅B(n,α)=
-
=limn→∞nα⋅B(α,n)=
-
=limn→∞nα⋅(n−1)!α⋅(α+1)⋅...⋅(α+n−1)
Правильно
Неправильно
-
-
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 6Рубрика: Математический анализСовместите функции с соответствующими производными.
Элементы сортировки
- 1∫0xα−1⋅e−x⋅ln2xdx
- 1∫0xα−1⋅e−x⋅ln3xdx
- 1∫0xα−1⋅e−x⋅ln5xdx
-
Γ″(α)
-
Γ‴(α)
-
Γ′′′′′(α)
Правильно
Неправильно
Γ»(α)=1∫0xα−1⋅e−x⋅ln2xdx
Γ»′=1∫0xα−1⋅e−x⋅ln3xdx(α)
Γ»»′(α)=1∫0xα−1⋅e−x⋅ln5xdx
-
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 4Рубрика: Математический анализДополните формулировку одного из свойств гамма-функции:
Формулой Γn(α)=∞∫0xα−1e−xlnnxdx определяется- (Производная) гамма-функции Эйлера.
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 2Рубрика: Математический анализОпределите, чему равно Γ(6).
Правильно
Неправильно
Используя формулу понижения, в результате получаем 5⋅Γ(5)
-
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 2Рубрика: Математический анализОпределите, чему равно Γ(12).
Правильно
Неправильно
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по гамма-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
Рубрики
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
