Processing math: 100%

Метод Гаусса

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

  1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из k уравнений с n неизвестными {a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3++a2nxn=b2,a31x1+a32x2+a33x3++a3nxn=b3,ak1x1+ak2x2+ak3x3++aknxn=bk.
    Сначала исключим неизвестное x1 из уравнений ниже первого. Предположим a110 (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при x1, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на a21a11 и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на a31a11 и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную x1 (то есть пока коэффициенты при x1 не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: {a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1,ˉa22x2+ˉa23x3++ˉa2nxn=ˉb2,ˉa32x2+ˉa33x3++ˉa3nxn=ˉb3,ˉak2x2+ˉak3x3++ˉaknxn=ˉbk.
    Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное x2), но с уравнениями ниже второго при a220. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: {a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1,ˉa22x2+ˉa23x3++ˉa2nxn=ˉb2,˜a33x3++˜a3nxn=˜b3,˜ak3x3++˜aknxn=˜bk.
    Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
  2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с t(tk) уравнениями и n переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную xt. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: {xt=ctt+1xt+1+att+2xt+2++ctnxn,x3=c3t+1xt+1+a3t+2xt+2++c3nxn,x2=c2t+1xt+1+a2t+2xt+2++c2nxn,x1=c1t+1xt+1+a1t+2xt+2++c1nxn.
    Для получения решения, в свободные переменные xt+1xn мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные x1xt.
Замечания

  • Если система уравнений получается треугольной (или же количество уравнений равно количеству переменных), то решение у этой системы одно (система называется определенной). Если система имеет несколько ответов, то система называется неопределенной.
  • Система есть несовместная, если она не имеет решений. Это можно понять по тому, если преобразованная нами система имеет уравнений больше, чем переменных (или мы можем получить уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, но свободный член отличен от нуля). В обратном случае — эта система совместная.
  • Обычно выполняют преобразования не с самой системой, а с матрицей системы: выписывают матрицу из коэффициентов системы с присоединенным к ней столбцом из свободных членов. Тогда стоит заметить, что такие элементарные преобразования можно выполнять только с матрицами системы. С обычными матрицами, которые просто даны в условии, так делать запрещается.
  • При вычитании одной строки из другой меняется только та строка, от которой отнимают. Аналогично и со сложением: меняется та строка, к которой прибавляют.
  • Если в ходе преобразований мы получаем нулевую строку (все коэффициенты и свободный член будут равны 0), то такую строку можно убрать.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:{3x12x25x3+x4=3,2x13x2+x3+5x4=3,x1+2x24x4=3,x1x24x3+9x4=22.

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) (3251231512041149|33322).

Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: (1149231512043251|22333).
Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: (1149019130341301726|22472563).
Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: (114901913003152001639|2247166110).
Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на 1631 и вычитаем из четвертого. Получаем:(11490191300315200037731|224716675431).
Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: {x1x24x3+9x4=22,x2+9x313x4=47,31x352x4=166,37731x4=75431.
Решение получается одно. Находим его: x4=2,x3=166+10431=2,x2=(47+18+26)=3,x1=22+3818=1.

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:{4x13x2+x3+5x47=0,x12x22x33x43=0,3x1x2+2x3+1=0,2x1+3x2+2x38x4+7=0.

Решение

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: {3x17x2+4x3+5x4=11,2x1+5x2+x32x4=5,x1+2x23x3+4x4=7,7x1+2x2x3+11x4=6.

Решение

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: {7x1+3x22x3+4x4=0,6x1x2x3+x4=1,9x1+7x28x3+14x4=2,x1+2x23x3+5x4=1.

Решение

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: {2x1x2+2x4=0,x1+2x2x3=0,5x1+x2x3+2x4=0,x1+x2+x3+x4=1.

Решение

Смотрите также

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

{2x13x2+5x3+7x4=14x16x2+2x3+3x4=22x13x211x315x4=1

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.(23574623231115|121)(235700811001622|100)


(2357008110000|100)
Последняя матрица равносильна следующей системе:{2x13x2+5x3+7x4=18x311x4=0
Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например x1 и x3, и выразим через них остальные (свободные) переменные:{x1=1+3x25x37x42x3=118x4
{x1=1+3x218x42x3=118x4
Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например x2=1 и x4=0, тогда x1=2, x2=1, x3=x4=0 является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

{x1+2x2+4x33x4=03x1+5x2+6x34x4=04x1+5x22x3+3x4=03x1+8x2+24x319x4=0

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.A=(124335644523382419|0000)(12430165031815021210|0000)

(1243016500000000|0000)
Заметим, что rangA=2.{x1+2x2+4x33x4=0x26x315x4=0
Общее решение исходной СЛАУ:{x1=+8x37x4x2=6x3+5x4
ФСР состоит из k=(nrangA) векторов, где n — количество переменных. В нашем случае k=2, значит ФСР будет состоять из двух векторов c1 и c2. Возьмем произвольные значения свободных переменных:x1x2x3x4c110c201
Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
x1x2x3x4c18610c27501
Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система <(8,6,1,0),(7,5,0,1)>.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных