Processing math: 100%

Метка: следствия

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

f(b)−f(a)b−a — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f′(ξ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (ξ,f(ξ)). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение ξ∈(a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 ∀x∈(a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем ∀x∈(a,b) и зафиксируем [x,x0]⊂(a,b) ([x0,x]⊂(a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x0]
    f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⇒f(x)=f(x0), ∀x∈(a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. ∀x∈(a,b)⇒f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]⊂[a,b]: f(x)−f(a)=f′(ξ)(x−a). f(x)−f(a)=k(x−a). f(x)=kx+b.b=f(a)−ka

lag

  1. Следствие

    Пусть φ(x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x0∈(a,b))
    3. ∃limx→x0φ‘(x)

    Тогда ∃φ‘(x0), причем эта производная равна limx→x0φ‘(x)

    Его доказательство:

    Пусть limx→x0φ‘(x)=A, a<x<b, x≠x0. По Теореме Лагранжаφ(x)−φ(x0)=φ‘(ξ)(x−x0), где ξ∈(x0,x)∪ξ∈(x,x0)⇒ φ‘(ξ)=φ(x)−φ(x0)x−x0. (Будем считать, что функция однозначна) ξ=ξ(x):x0<ξ(x)<x⇒limx→x0ξ(x)=x0⇒limx→x0φ‘(ξ)=A=limx→x0φ(x)−φ(x0)x−x0=φ‘(x0)

Пример

Найти функцию Θ=Θ(x0,Δx) такую, что f(x0+Δx)−f(x0)=Δxf(x0+ΘΔx), если f(x)=ax2+bx+c,a≠0

Спойлер

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература