Processing math: 100%

Метка: следствия из аксиом

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X≠∅, P — поле. (X,P) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой (X,+) — абелева группа.
  2. Задано отображение: ∙:P×X→X такое, что:
    • 1⋅x= x,∀x∈X,
    • α(βx)= (αβ)x, ∀x∈X, ∀α,β∈P.
    • α(x1+x2)= αx1+αx2, ∀α∈P, ∀x1,x2∈X,
    • (α+β)x= αx+βx, 8α,β∈P, 8x∈X.

Элементы поля P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. α⋅0=0,∀α∈P
    Спойлер
  2. 0⋅x=0,∀x∈X
    Спойлер
  3. (−α)x= −(αx),∀α∈P,∀x∈X
    Спойлер
  4. (−1)x=−x,∀x∈X
    Спойлер
  5. (α—β)x= αx—βx,∀α,β∈P,∀x∈X
    Спойлер
  6. α(x—y)= αx—αy,∀x,y∈X,∀α∈P
    Спойлер
  7. αx= 0⇔α= 0∨x= 0,∀α∈P,∀x∈X
    Спойлер
  8. αx= αy∧α≠0⇒x= y,∀α∈P,∀x,y∈X
    Спойлер
  9. αx= βy∧x≠y⇒α= β,∀α,β∈P,∀x,y∈X
    Спойлер

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V1,V2,V3
  2. (X,P),X=Mm×n(P)
  3. (X,P),X=P[x]
  4. (X,R),X=C[−1;1]
  5. (C,R),X=C,P=R
  6. (P,P),X=P,P=P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных