Задача
Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.
A=(3−222−122−23)
Решение
Решим характерестическое уравнение:
det|A−λE|= |3−λ−222−1−λ22−23−λ|=
=(3−λ)|−1−λ2−23−λ|+2|2223−λ|+2|2−1−λ2−2|=
=(3−λ)(λ2—2λ+1)+2(−2λ+2)+2(2λ—2)=
=(3−λ)(λ2—2λ+1)=0
Решая уравнение, мы нашли собственные значения λ1=3, λ2=λ3=1⇒ спектр оператора A состорит из двух собственных значений.
Теперь найдём собственные вектора:
1.Пусть λ=1.
{2x1—2x2+2x3=02x1—2x2+2x3=02x1—2x2+2x3=0
Пусть x2 и x3 — свободные переменные, а x1 — зависимая, т.е. x1=x2−x3:
| x1 | x2 | x3 | |
| 1 | 2 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 |
Собственный вектор: X1=A1(121), X2=A2(011)
2.Пусть λ=3.
{−2x2+2x3=02x1—4x2+2x3=02x1—2x2=0
Пусть x2 — свободная переменные, а x1 и x3 — зависимые:
| x1 | x2 | x3 | |
| 1 | 1 | 1 |
Собственный вектор: X3=A3(111)
Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства ⇒
Eλ1= ⟨A3(111)⟩
Eλ2= ⟨A1(121), A2(011)⟩
Список литературы:
- Кузнецов Л.А. «Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)», стр. 257-261
- Канатников А.Н., Крищенко А.П. «Линейная алгебра», стр. 158-168
Нахождение собственных подпространств линейного оператора
Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »
Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
