Автор: Евгений Колодин

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

$ A=\begin{pmatrix}
3 & -2 & 2\\
2 & -1 & 2\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix}$

Решение

Решим характерестическое уравнение:

[latex]\det\left| {A-\lambda E}\right| = [/latex] [latex]\left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =[/latex]

[latex]= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =[/latex]

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda — 2) =$

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1)=0$
 
Решая уравнение, мы нашли собственные значения $ \lambda_{1}=3,$ $ \lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow $ спектр оператора $ A$ состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть $ \lambda = 1$.
$ \begin{cases}2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ и $ x_3$ — свободные переменные, а $ x_1$ — зависимая, т.е. $ x_1=x_2-x_3$:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 2 1
0 1 1

Собственный вектор: $ X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)$, $ X_2 = {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}$

2.Пусть $ \lambda = 3$.
$ \begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ — свободная переменные, а $ x_1$ и $ x_3$ — зависимые:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 1 1

Собственный вектор: $ X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства $ \Rightarrow$
$ E_{\lambda_{1}} = $ $ \langle {A_{3} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$
$ E_{\lambda_{2}} = $ $ \langle {A_{1} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}$, $ {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »


Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подстановки степени n

 Определение:

Любое взаимно однозначное отображение $latex A$ множества первых $latex n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой $latex n$-й степени. Всякая подстановка $latex A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

$latex
\begin{pmatrix}
i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\
a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}
\end{pmatrix} $
через $latex a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке $latex A$ переходит число $latex i$, $latex i = 1,2,$ $latex \ldots , n$.

Замечание:

От одной записи подстановки $latex A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка $latex n$-й степени может быть записана в виде:

$latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}
\end{pmatrix} $
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из $latex n$ чисел равно $latex n!$ .

Переход к любой другой записи подстановки $latex A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.

Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $latex A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка $latex A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка($latex E$) будет чётной:

$latex E =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
1 & 2 & \ldots & n
\end{pmatrix} $Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно $latex {\frac12 n!}$

Пример

$latex \begin{pmatrix}
4 & 3 & 5 & 2 &1\\
3 & 5 & 2 & 1 &4
\end{pmatrix}$ всегда можно представить в виде $latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 &5\\
4 & 1 & 5 & 3 &2
\end{pmatrix}$

Подстановки степени n

Тест по теме «Подстановки степени $latex n$».

Таблица лучших: Подстановки степени n

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы: