Метка: сравнение бесконечно малых функций

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ определены функции $f,g$ и $\alpha$, такие, что имеют место соотношения $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $g$ при $x\to x_0$ и пишут $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $\forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

• В случае, когда в записи $f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$   $g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $g$, $g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $f$.

• В случае, когда в записи $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $f$ и $g$ — бесконечно малые функции при $x\to x_0$, говорят, что $f$ и $g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
• В случае, когда в записи $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$  $g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $f$ имеет $m$-й порядок малости относительно функции $g$.

Примеры:

$x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $\tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $x$;
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $\tan x$ и $x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $\tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $x$.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из этих функций являются бесконечно малыми в сравнении с $g(x)=x$ при $x\to +0$?

   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$\sin x$$
   • $$\ln x$$
   • $$\ln (1+x)$$
   • $$x^2$$
   • $$\tan^2 x$$
   • $$0$$
   Правильно
   

   Все правильно.

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Функция $\tan^4 x\cdot\sin^5 x\cdot\ln^2(1+x)$ является бесконечно малой функцией при $x\to 0$ какого порядка малости относительно $x$?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 5
   • 11
   • Все вышеперечисленные
   Правильно
   

   Верно, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^4 x\cdot\sin^5\cdot\ln^2(1+x)}{x^{11}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{11}}{x^{11}}=1$.

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   $f$ и $g$ — бесконечно малые функции при $x\to x_0$.
   Равносильны ли следующие два утверждения?

   • $f$ является бесконечно малой функцией 1-го порядка малости относительно $g$ при $x \to x_0$;
   • $f$ и $g$ являются бесконечно малыми функциями одинакового порядка малости при $x \to x_0$.

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Верно.

   Неправильно
   

   Неправильно, оба этих утверждения можно записать в виде $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g^1(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны бесконечно малые функции $f,g$ при $x\to x_0$.
   Имеет ли смысл следующее утверждение?

   $f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}, g(x)=\underset{x\to x_0}{o(f(x))}$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Правильно, по определению выходит, что $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.

   Неправильно
   

   Неверно, по определению выходит, что $f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставьте следующие функции по УБЫВАНИЮ порядка малости относительно $x, x\to 0$.

   • $$tan^6 x\sqrt{\sin^5 x}$$
   • $$tan^6 x\sqrt{\sin\sqrt[5]{x}}$$
   • $$x\sqrt[3]{\sin^2 x\tan^4 x}$$
   • $$\ln^2(1+x)$$
   • $$\ln (1+x)^2$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 2, §3, с. 136-137