Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Бесконечно малые функции

Если limxaf(x)=0, то функция f(x) называется бесконечно малой при xa.

Свойства

  1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при xa есть бесконечно малая функция при xa
  2. Доказательство
    Пусть f1(x),f2(x),..,fn(x) бесконечно малые функции при xa. Тогда существуют числа δ1,δ2,..,δn и число ε>0 такие что
    |xa|<δ1,|xa|<δ2,..,|xa|<δn (1)
    что влечет за собой условия
    |f1(x)|<εn,|f2(x)|<εn,..,|fn(x)|<εn (2).
    Если δ=min{δ1;δ2;..;δn}, то условие |xa|<δ усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
    |f1(x)+f2(x)+..+fn(x)||f1(x)|+|f2(x)|+..+|fn(x)||f1(x)|+|f2(x)|+..+|fn(x)|<n1εn=ε|f1(x)+f2(x)+..+fn(x)|<ε

  3. Произведение бесконечно малой функции f(x) на ограниченную g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a есть бесконечно малая функция при xa
  4. Доказательство
    Так как функция g(x) ограничена, то для x удовлетворяющих условию
    |xa|<δ1 (1)
    существует число
    C:|g(x)|<C (2)
    Так как функция f(x) бесконечно малая, то существует некоторая окрестность δ2 и число
    ε>0 для которых выполняются условия
    |xa|<δ2 (3)
    и
    |f(x)|<εC (4)
    Выберем δ=min{δ1;δ2}. Тогда условие |xa|<δ более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
    Следовательно |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<εCC=ε

  5. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при xa есть бесконечно малая функция при xa
  6. Доказательство
    Так как любая бесконечно малая функция f(x) при xa будет ограничена в некоторой δ окрестности точки a, то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →