Задача из журнала «Квант» (2000 год, 5 выпуск)

Условие задачи

Найдите сумму

$$\displaystyle \left [ \frac{1}{3} \right ] + \left [ \frac{2}{3} \right ] + \left [ \frac{2^{2}}{3} \right ] + \cdots +\left [ \frac{2^{1000}}{3} \right ]$$
$(\left[ a \right]$ — целая часть числа $a)$

Решение

Достаточно найти сумму дробных частей

$$\displaystyle s_{1} = \left\{ \frac{1}{3} \right\} + \left\{ \frac{2}{3} \right\} + \left\{ \frac{2^{2}}{3} \right\} + \cdots +\left\{ \frac{2^{1000}}{3} \right\}.$$
Имеем: $$\displaystyle \left\{ \frac{1}{3} \right\} = \frac{1}{3}, \left\{ \frac{2}{3} \right\} = \frac{2}{3}, \left\{ \frac{4}{3} \right\} = \frac{1}{3}, \left\{ \frac{8}{3} \right\} = \frac{2}{3}, \cdots$$
Следовательно, $\displaystyle s_{1} = 501 \cdot \frac{1}{3} + 500 \cdot \frac{2}{3} = 500\tfrac{2}{3}.$
Далее, $$s = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \cdots + \frac{2^{1000}}{3} = \frac{1}{3}(2^{1001} — 1).$$
Получили: $\displaystyle s_{2} = \left [ \frac{1}{3} \right ] + \left [ \frac{2}{3} \right ] + \left [ \frac{2^{2}}{3} \right ] + \cdots +\left [ \frac{2^{1000}}{3} \right ] = s — s_{1} = \frac{1}{3}(2^{1001} — 2) — 500.$

Ответ: $\displaystyle \frac{2^{1001} — 2}{3} — 500.$

А.Голованов, В.Сендеров