Задача из журнала «Квант» (2000 год, 5 выпуск)

Условие задачи

Найдите сумму $$\displaystyle \left [
\frac{1}{3}
\right ] + \left [
\frac{2}{3}
\right ] + \left [
\frac{2^{2}}{3}
\right ] + \cdots +\left [
\frac{2^{1000}}{3}
\right ]$$
$(\left[ a \right]$ — целая часть числа $a)$

Решение

Достаточно найти сумму дробных частей $$\displaystyle s_{1} = \left\{
\frac{1}{3}
\right\} + \left\{
\frac{2}{3}
\right\} + \left\{
\frac{2^{2}}{3}
\right\} + \cdots +\left\{
\frac{2^{1000}}{3}
\right\}.$$
Имеем: $$\displaystyle \left\{
\frac{1}{3}
\right\} = \frac{1}{3}, \left\{
\frac{2}{3}
\right\} = \frac{2}{3}, \left\{
\frac{4}{3}
\right\} = \frac{1}{3}, \left\{
\frac{8}{3} \right\} = \frac{2}{3}, \cdots$$
Следовательно, $\displaystyle s_{1} = 501 \cdot \frac{1}{3} + 500 \cdot \frac{2}{3} = 500\tfrac{2}{3}.$
Далее, $$s = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \cdots + \frac{2^{1000}}{3} = \frac{1}{3}(2^{1001} — 1).$$
Получили: $\displaystyle s_{2} = \left [
\frac{1}{3}
\right ] + \left [
\frac{2}{3}
\right ] + \left [
\frac{2^{2}}{3}
\right ] + \cdots +\left [
\frac{2^{1000}}{3}
\right ] = s — s_{1} = \frac{1}{3}(2^{1001} — 2) — 500.$

Ответ: $\displaystyle \frac{2^{1001} — 2}{3} — 500.$

А.Голованов, В.Сендеров