сумма линейных подпространств

Рассмотрим критерии прямой суммы подпространств некоторого линейного пространства.

Пусть дано некоторое линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Тогда для того, чтобы сумма подпространств $L=L_1+L_2+\cdots+L_k$ являлась прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов слагаемых-подпространств составляло базис суммы $L$ .

Пусть сумма $L$ — прямая. Тогда нужно доказать, что объединение базисов подпространств есть базис суммы. Выпишем базисы подпространств $L_i, i=\overline{1, k}$ : $E_1=\langle e_{11},e_{12},\ldots,e_{1m_1}\rangle,$ $E_2=\langle e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2}\rangle,$ $\ldots,$ $E_k=\langle e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$ Теперь построим объединенную систему из данных базисов. В итоге получим:

$E=\langle{e_{11}},e_{12},\ldots,e_{1m_1},e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2},\ldots,e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$

Для того, чтобы система $E$ являлась базисом суммы $L$ , она должна удовлетворять определению базиса. То есть, любой вектор из $L$ должен выражаться через данную систему, и она должна быль линейно независимой. Первое условие соблюдается. Действительно, по определению прямой суммы: $\forall x\in L:$

$x=x_1+x_2+\cdots+x_k,$ где

$x_i\in L_i, i=\overline{1, k}$ , причем такое представление единственно. Каждый вектор

$x_i, i=\overline{1, k}$ может быть выражен через базис

$L_i$ :

$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},$ где

$\alpha_{ij}\in {\bf P}, j=\overline{1, m_i}$ — коэффициенты линейной комбинации. Значит, вектор

$x$ можно представить в другом виде:

$x=\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k},$ Как видим, вектор выражается через систему

$E$ .

Остается доказать линейную независимость. Выпишем линейную комбинацию векторов системы $E$ и приравняем ее к нулю:

$\begin{equation}\begin{gathered}\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k}=0.\end{gathered}\end{equation}$ По первому критерию линейной независимости система

$E$ будет линейно независима при следующих равенствах:

$\alpha_{11}=\alpha_{12}=\cdots=\alpha_{km_k}=0.$ Опять же, данные слагаемые можно представить как линейные комбинации векторов из

$L_i, i=\overline{1, k}$ , то есть:

$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},i=\overline{1,k}.$ Теперь можно переписать уравнение

$\left(1\right)$ в следующем виде:

$x_1+x_2+\cdots+x_k=0.$ Получили представление нулевого вектора. По определению прямой суммы такое представление единственно и имеет вид:

$0+0+\cdots+0=0$ . Отсюда следует:

$x_i=0,i=\overline{1,k}$ . Так как каждый вектор

$x_i$ представляется через соответствующий базис

$L_i$ , то, следовательно, все коэффициенты линейных комбинаций равны нулю:

$\alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{im_i}=0,i=\overline{1,k}$ , что и требовалось доказать.

Таким образом, система $E$ линейно независима, и каждый вектор суммы $L$ выражается через данную систему. Необходимость доказана.

Теперь пусть объединение базисов $L_i,i=\overline{1,k}$ (оно же является системой $E$ ) есть базис суммы $L$ . Требуется доказать, что $L$ — прямая сумма. Значит, нужно показать, что представление любого вектора этой суммы единственно. Запишем представление некоторого вектора $x\in L$ в базисе суммы:

$\begin{equation}\begin{gathered}x=\beta_{11}e_{11}+\beta_{12}e_{12}+\cdots+\beta_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\\{}+\beta_{k1}e_{k1}+\beta_{k2}e_{k2}+\cdots+\beta_{km_k}e_{km_k}.\end{gathered}\end{equation}$ По свойству базиса такое представление единственно. Выражения вида

$\beta_{i1}e_{i1}+\cdots+\beta_{im_i}e_{im_i}$ являются линейными комбинациями векторов из

$L_i,i=\overline{1,k}$ . Тогда их можно заменить соответствующими векторами

$y_i\in L_i$ и подставить в

$\left(2\right)$ . Получим:

$x=y_1+y_2+\cdots+y_k.$ Получили представление

$x$ в виде вектора суммы. Пусть сумма

$L$ не прямая, тогда может существовать другое представление вектора

$x$ . А это необратимо приводит к изменению представления векторов

$y_i$ и, соответственно, значений коэффициентов

$\beta_{i1},\beta_{i2},\ldots,\beta_{im_i},i=\overline{1,k}$ . Но, как было сказано выше, вектор

$x$ имеет единственное представление

$\left(2\right)$ , то есть иного не существует. Получили противоречие. Следовательно, сумма

$L$ является прямой, что и требовалось доказать.

Пусть дано линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Сумма данных подпространств $L$ будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение любого подпространства с суммой остальных содержит только нулевой вектор.

Требуется доказать, что при $L=L_1\oplus L_2\oplus \cdots\oplus L_k$ пересечение любого подпространства с суммой остальных нулевое. Предположим, что

$\exists L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j \ne \left\{0\right\}.$ Тогда существует такой ненулевой вектор

$x$ , что

$x\in L_i$ и

$x\in \sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ . Этот вектор можно представить в виде:

$x=\overbrace{0+0+\cdots+0+x+0+\cdots+0}^{k\mbox{ векторов}}$ , так как $x\in L_i$ ;
$x=\sum_{j=1\\j\ne i}^k x_j$ , так как вектор принадлежит $\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ и, следовательно, может быть представлен как вектор суммы $L$ :
$x=x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}+0+x_{i+1}+\cdots+x_k.$

Таким образом, вектор прямой суммы $L$ не имеет единственного представления, что противоречит определению прямой суммы. Значит, наше предположение неверно, и $\forall L_i: L_i\cap\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\}.$

Достаточность. Теперь докажем, что если

$\forall L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\},$ то сумма

$L$ — прямая. Снова пойдём от противного: пусть

$L$ — не прямая сумма. Следовательно, по определению существует такой вектор

$y$ , который имеет, по крайней мере, два различных представления. Запишем их общий вид:

$y=x_1+x_2+\cdots+x_k,$

$y=z_1+z_2+\cdots+z_k,$ где

$z_i, x_i \in L_i,i=\overline{1,k}$ . Вычтем из первого выражения второе. Получим:

$0=\left(x_1-z_1\right)+\left(x_2-z_2\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ Векторы

$x_1-z_1, x_2-z_2,\ldots,x_k-z_k$ принадлежат подпространствам

$L_1, L_2,\ldots,L_k$ соответственно, что вытекает из критерия подпространства. Значит, нулевой вектор представляется как вектор суммы

$L$ . Пусть

$x_1-z_1\ne 0.$ Перенесем данное слагаемое в левую часть. Тогда можно записать следующее:

$\left(z_1-x_1\right)=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ То есть существует некоторый вектор

$z_1-x_1\ne 0$ , что

$z_1-x_1\in L_1,$

$z_1-x_1=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right) \in \sum\limits_{j=2}^k L_j.$ Значит, пересечение подпространства

$L_1$ и суммы

$\sum_{j=2}^k L_j$ содержит ненулевые векторы. Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и

$L$ — прямая сумма подпространств. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим следствия из критериев прямой суммы, а также приведём их доказательства, хоть они и небольшие.

Следствие 1.

Сумма двух подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда их пересечение содержит только нулевой вектор.

Данное утверждение является частным случаем критерия $2$ прямой суммы при $k=2$ .

Следствие 2.

Размерность прямой суммы двух подпространств есть сумма размерностей данных подпространств.

По формуле Грассмана:

$\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim{\left(L_1 \cap L_2\right)},$ то есть размерность суммы подпространств

$L_1$ и

$L_2$ равна сумме размерностей данных подпространств без размерности их пересечения. Пересечение данных подпространств, как мы уже узнали, содержит только нулевой вектор. Следовательно, размерность пересечения равна

$0$ . Тогда третье слагаемое в формуле Грассмана также равно

$0$ , и мы приходим к изначальному утверждению.

Примеры

Теперь рассмотрим несколько примеров применения критериев прямой суммы.

Пусть дано линейное пространство, заданное в виде линейной оболочки $L=L\langle a_1,a_2,a_3,a_4\rangle$ , где $a_1=\left(1,1,0,0\right),$ $a_2=\left(0,5,0,3\right),$ $a_3=\left(0,0,2,0\right),$ $a_4=\left(-1,7,1,0\right).$ Разложить данное пространство в прямую сумму двух подпространств.

Решение

Для начала, проверим, является ли указанная система линейно независимой. Построим систему линейных комбинаций из векторов данной системы:
$\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+0x_3+0x_4=0\\0x_1+5x_2+0x_3+3x_4=0\\0x_1+0x_2+2x_3+0x_4=0\\-x_1+7x_2+x_3+0x_4=0\end{array}\right.$ Воспользуемся методом Гаусса:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\-1 & 7 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 8 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}\sim$
$\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}.$
Как видим, ни один из векторов не выражается через остальные. Значит, система линейно независима и является базисом пространства $L$ . Тогда данное пространство можно разложить в прямую сумму подпространств, разбив его базис, к примеру, на две такие подсистемы: $\langle a_1,a_2\rangle$ , $\langle a_3,a_4\rangle$ . Тогда разложение будет иметь вид: $L=L_1\oplus L_2$ , где $L_1=L\langle a_1,a_2\rangle$ , $L_2=L\langle a_3,a_4\rangle$ .
Даны подпространства $L_1=L\langle\left(1,1,3\right)\rangle$ , $L_2=L\langle\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle$ . Проверить сумму подпространств $L_1$ и $L_2$ на прямоту.

Решение

И первая, и вторая исходные системы являются линейно независимыми, ведь в них нет векторов, что выражаются через другие векторы этой системы. Значит системы являются базисами подпространств, построенных на соответствующих линейных оболочках. Объединим эти базисы в единую систему векторов:
$E=\langle\left(1,1,3\right),\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle.$ Воспользуемся методом Гаусса:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\3 & 5 & 9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -4\end{pmatrix}.$ Получили, что система $E$ — линейно независима. Значит, объединение базисов исходных подпространств является базисом суммы подпространств $L$ : $L=L_1\oplus L_2$ .
Пусть даны подпространства $L_1=L\langle a_1,a_2,a_3\rangle$ , $L_2=L\langle b_1,b_2\rangle$ , $L_3=L\langle c_1,c_2,c_3\rangle$ . Проверить сумму данных подпространств на прямоту, если:
$a_1 = \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix};$
$b_1=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 0\end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix};$
$c_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix},c_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},c_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}.$

Решение

Для удобства системы пронумеруем от $1$ до $3$ в соответствии с номерами подпространств.Указанные системы можно переписать в следующем виде: $\langle\left(0,0,1,1\right),\left(1,1,1,1\right),\left(1,1,0,0\right)\rangle,$ $\langle\left(1,-1,2,0\right),\left(0,0,-1,1\right)\rangle,$ $\langle\left(0,1,1,1\right),\left(1,1,2,1\right),\left(1,0,1,0\right)\rangle.$ Проверку линейной независимости можно сделать и без применения метода Гаусса. Действительно, в первой системе $a_1+a_3=\left(0,0,1,1\right)+\left(1,1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)=a_2$ , в третьей: $c_1+c_3=\left(0,1,1,1\right)+\left(1,0,1,0\right)=\left(1,1,2,1\right)=c_2$ . Значит векторы $a_2$ и $c_2$ линейно выражаются через остальные. Вторая система, как можно видеть, уже является линейно независимой и, следовательно, базисом подпространства $L_3$ . Тогда, если откинуть линейно зависимые векторы в системах $1$ и $3$ , то получим базисы уже всех трех подпространств:
$L_1=L\langle a_1,a_3\rangle,$
$L_2=L\langle b_1,b_2\rangle,$
$L_3=L\langle c_1,c_3\rangle.$ Теперь объединим данные базисы в единую систему векторов:
$E=\langle a_1,a_3,b_1,b_2,c_1,c_3\rangle.$ Теперь только осталось понять, является ли сумма исходных подпространств прямой. Проверим систему $E$ на линейную независимость с помощью метода Гаусса:
$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & -1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$ Переставим строки в матрице для более удобных элементарных преобразований:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$ Строки $2$ и $3$ пропорциональны, поэтому можно исключить, к примеру, вторую строку. Дальнейшие преобразования не имеют смысла в данной задаче: объединение базисов исходных подпространств не является базисом суммы, потому что объединенная система содержит, по крайней мере, один линейно зависимый вектор. Значит, сумма $L=L_1+L_2+L_3$ не будет прямой в соответствии с первым критерием суммы. Задача решена.

Критерии прямой суммы

Тест на закрепление материала «Критерии прямой суммы».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 2
Пусть даны подпространства $L_1,L_2\subset \mathbb{R}_4\left[x\right]$ . Является ли сумма $L=L_1+L_2$ прямой, если $L_1=L\langle\left(x^4,0,2x^2,0,2\right)\rangle$ и $L_2=L\langle\left(0,0,0,3x,1\right),\left(5x^4,3x^3,0,x,4\right)\rangle$ ?
- Да.
- Нет.
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 2
Выберите подпространства, сумма которых с подпространством $L=L\langle\left(1,2,4,7,\right),\left(3,3,8,5,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$ будет прямой.
- $L'=L\langle\left(7,8,9,4,\right),\left(4,4,5,0,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(1,9,9,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(-8,-11,-20,24,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(0,5,5,5,\right)\rangle$
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Если сумма подпространств прямая, то что содержит пересечение каждого подпространства с суммой остальных?
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Завершите формулировку одного следствия из критериев прямой суммы, вписав пропущенные слова.
- прямой суммы двух подпространств есть (сумма) (размерностей) данных подпространств.
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 2
Расположите размерности прямых сумм указанных подпространств в порядке сверху вниз от наименьшей к наибольшей.
- $L_1=L\langle\left(7, 0, 2\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(7, 0, 5\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 1\right), \left(7, 4, 4\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 0, 3\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 0, 1\right), \left(7, 3, 2, 0\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 5, 5, 5\right), \left(3, 8, 1, 2\right)\rangle$

Метка: сумма линейных подпространств

Критерии прямой суммы

Примеры

Критерии прямой суммы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Смотрите также:

Средний результат
Ваш результат