сумма степеней

Лемма. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$ По определению произведения многочленов, коэффициенты

$p\left(x\right)$ равны

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\;\left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$ Рассмотрим коэффициент многочлена

$p\left(x\right)$ при

$x^{n+m}:$

$c_{n+m}=\sum_{\alpha+\beta=n+m}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{n}b_{m}.$ Очевидно,

$a_{n}b_{m}\neq 0,$ иначе хоть один из множителей был бы равен нулю и степени

$u\left(x\right)$ и/или

$v\left(x\right)$ были бы нарушены. Тогда

$c_{n+m}\neq 0$ и

$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=n+m.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени произведения двух многочленов».

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Какая степень у произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ где: $u\left(x\right)=4x^8-14x^7+32x^6-8x^5+2x^4+23x^3+96x^2+73x+30,$ $v\left(x\right)=11x^6+49x^5+35x^4+48x^3+28x^2+11x+2?$
- 14
- 13
- 12
- 2
- 8
- 6
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Вычислите $\deg\left(p\left(x\right)\right),$ если $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ $\deg\left(u\left(x\right)\right)=28,$ $\deg\left(v\left(x\right)\right)=72.$ (В ответ введите только число)
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 8
Дополните формулировку леммы (По 1 слову в каждом поле)
- Степень произведения двух многочленов равна (сумме) степеней .