Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению произведения многочленов, коэффициенты $p\left(x\right)$ равны $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\;\left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $p\left(x\right)$ при $x^{n+m}:$ $$c_{n+m}=\sum_{\alpha+\beta=n+m}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{n}b_{m}.$$ Очевидно, $a_{n}b_{m}\neq 0,$ иначе хоть один из множителей был бы равен нулю и степени $u\left(x\right)$ и/или $v\left(x\right)$ были бы нарушены. Тогда $c_{n+m}\neq 0$ и $\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=n+m.$
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
Вычислить $\deg\left(p\left(x\right)\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=6x^8-19x^7+40x^6-52x^5+74x^4-60x^3+34x^2+5x+50,$$ $$v\left(x\right)=42.$$ Решение
Очевидно, умножение на число не изменит степени многочлена. Однако, убедимся в этом с помощью леммы, считая $v\left(x\right)$ многочленом нулевой степени. $$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=8+0=8.$$
Определить степеньпроизведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20.$$ Решение
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени произведения двух многочленов».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 1
Какая степень у произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ где: $$u\left(x\right)=4x^8-14x^7+32x^6-8x^5+2x^4+23x^3+96x^2+73x+30,$$ $$v\left(x\right)=11x^6+49x^5+35x^4+48x^3+28x^2+11x+2?$$
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 1
Вычислите $\deg\left(p\left(x\right)\right),$ если $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ $\deg\left(u\left(x\right)\right)=28,$ $\deg\left(v\left(x\right)\right)=72.$ (В ответ введите только число)
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 8
Дополните формулировку леммы (По 1 слову в каждом поле)
Степень произведения двух многочленов равна (сумме) степеней (множителей, сомножителей).
Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{p}x^{p}+c_{p-1}x^{p-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ где $p=\max\left(m,n\right).$ По определению суммы двух многочленов, коэффициенты $s\left(x\right)$ равны $$c_{i}=a_{i}+b_{i},\; \left(i = 0, 1, \ldots, p-1, p\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{p}:$ $$c_{p}=a_{n}+b_{m},$$ если они существуют, т.е. если $n=m.$ Если же $n>m,$ то $c_{p}=a_{n}.$ Иначе, $n<m$ и $c_{p}=b_{m}.$ Таким образом, степень $s\left(x\right)$ не будет больше $\max\left(m,n\right).$ В случае же $m=n$ и $a_{n}=-b_{m},$ $c_{p}=0$ и степень $s\left(x\right)<p.$
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
Какой степени будет сумма $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=7x^7+19x^6+39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20?$$ Решение
Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right).$ Поскольку $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7,$ коэффициентмногочлена $s\left(x\right)$ при $x^{7}$ равен $c_{7}=10+7=17\neq 0.$ Следовательно, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=7.$
Определить степеньсуммымногочленов $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=45x^7-47x^6-x^5-140x^4+10x^3+13x^2+24x+12,$$ $$v\left(x\right)=-45x^7+47x^6+x^5+27x^4+12x^3+6x^2+2x+21.$$ Решение
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени суммы двух многочленов».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 3
Какой степени будет многочлен $s\left(x\right),$ если: $$s\left(x\right)=-u\left(x\right)+v\left(x\right)+u\left(x\right),$$ где $u\left(x\right)$ — произвольный многочлен, $v\left(x\right)=2x+3?$ (В ответ введите только число)
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 2
Чему будет равна $\deg \left(s\left(x\right)\right),$ если $$u\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3-27x^2+54x+88,$$ $$v\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3+27x^2-54x+88,$$ $$s\left(x\right)=u\left(x\right)-v\left(x\right).$$
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 2
Вычислите $\deg\left(s\left(x\right)\right),$ если $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ и $\deg\left(u\left(x\right)\right)=12,$ $\deg\left(s\left(x\right)\right)=14.$ (В ответ введите только число)
Очевидно, $P\left[x\right]\neq \varnothing,$ $+$ — БАО. Проверим выполнение аксиом абелевой группы:
Ассоциативность операции: $$\forall u\left(x\right),v\left(x\right),w\left(x\right) \in P\left[x\right]: \left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right).$$ Как известно, операция сложения многочленов обладает ассоциативностью.
Коммутативность операции: $$\forall u\left(x\right),v\left(x\right) \in P\left[x\right]:u\left(x\right)+v\left(x\right)=v\left(x\right)+u\left(x\right).$$ Сложение многочленов также обладает и коммутативностью.
Покажем что существует нейтральный элемент по сложению, а именно: $$\exists e \in P\left[x\right]\; \forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]: u\left(x\right)+e=e+u\left(x\right)=u\left(x\right).$$ Таким элементом выступает число $0,$ которое можно рассматривать как одночлен, или как многочлен с коэффициентами равными нулю. Из определения сложения многочленов, сложение с ним не изменит коэффициенты исходного многочлена, т.к. $0$ является нейтральным элементом для сложения чисел.
Наконец, покажем существование противоположного элемента: $$\forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]\; \exists -u\left(x\right)\in P\left[x\right]: u\left(x\right)+\left(-u\left(x\right)\right)=-u\left(x\right)+u\left(x\right)=e=0.$$ Получить такой элемент для любого многочлена можно просто заменив все его коэффициенты на противоположные (простыми словами — поменяв их знаки). Суммой таких многочленов, в силу противоположности их коэффициентов как чисел, будет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, или просто $0.$
Очевидно, операция сложения многочленов сохраняет все свои свойства на этом множестве, а нейтральный и противоположный элементы ему принадлежат $\Rightarrow$ все аксиомы выполняются. Также, $+$ остается БАО, а $P^3\left[x\right]\neq \varnothing.$ Значит, ответ положительный.
Аналогично первому примеру, $P^3\left[x\right]\neq \varnothing.$ Однако, в случае умножения, произведением двух многочленов $3$-й степени будет многочлен $6$-й степени (по лемме о степени произведения), что выходит за границы рассматриваемого множества. Значит, $\left( P^3\left[x\right],\cdot \right)$ — не абелева группа.
Как называется элемент $e,$ для которого выполняется: $$\forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]: u\left(x\right)+e=e+u\left(x\right)=u\left(x\right).$$ (1 слово)
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 5
Вставьте пропущенные слова.
Нулевой многочлен выступает (нейтральный, нейтральным) элементом для операции сложения многочленов. Его можно получить, сложив два (противоположных, нулевых) многочлена.
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Будем считать, что $n\geqslant m.$ Тогда их суммой является многочлен $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ каждый коэффициент $c_{i}$ которого получается сложением соответствующих коэффициентов $a_{i}$ и $b_{i},$ $\left(i = 0, 1, \ldots, n-1, n\right).$ Причём, если $n\geqslant i>m,$ то считаем, что $b_{i}=0.$
Замечание. Можно определить и вычитание многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен $\left(0\right),$ а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$-u\left(x\right)=-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}.$$
Пусть $$u\left(x\right)+v\left(x\right)=s_{1}\left(x\right),\; v\left(x\right)+u\left(x\right)=s_{2}\left(x\right).$$ Рассмотрим коэффициенты $s_{1}\left(x\right)$ и $s_{2}\left(x\right).$ Они равны в силу коммутативности сложения чисел $\left(a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i}\right),$ а значит, $s_{1}\left(x\right)=s_{2}\left(x\right),$ что доказывает коммутативность сложения многочленов.
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно. Зададим их суммы: $$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=f\left(x\right),$$ $$u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ Рассмотрим общие формулы их коэффициентов: $$f_{i}=\left(a_{i}+b_{i}\right)+c_{i},$$ $$g_{i}=a_{i}+\left(b_{i}+c_{i}\right).$$ Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.
Умножение многочленов
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Тогда их произведением является многочлен $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ образующийся в результате простого умножения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\; \left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$
Рассмотрим многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ из определения произведения. Пусть $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}.$$ Тогда, коэффициенты многочлена $f\left(x\right)$ равны $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ а многочлена $g\left(x\right)$ — $\displaystyle d_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}b_{\beta}a_{\alpha}.$ Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right),$ а значит, $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)$ и коммутативность доказана.
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно, а именно: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$w\left(x\right)=c_{s}x^{s}+c_{s-1}x^{s-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ Теперь, зададим их произведения в нужном порядке: $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)=r_{m+s}x^{m+s}+r_{m+s-1}x^{m+s-1}+\ldots+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0},$$ $$h\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=k_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0},$$ $$l\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right)=p_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}.$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов $h\left(x\right)$ и $l\left(x\right).$ Рассмотрим общую формулу коэффициента $h\left(x\right):$ $$\displaystyle k_{i}=\sum_{q+\gamma =i}d_{q}c_{\gamma }=\sum_{q+\gamma =i}\left( \sum_{\alpha +\beta =q}^{}\left(a_{\alpha }b_{\beta }\right)\cdot c_{\gamma }\right) = \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Теперь покажем, что общую формулу коэффициента $l\left(x\right)$ можно привести к такому же виду: $$\displaystyle p_{i}=\sum_{\alpha+q=i}a_{\alpha}r_{q}=\sum_{\alpha+q=i}\left( a_{\alpha}\cdot \sum_{\beta+\gamma=q}b_{\beta}c_{\gamma} \right)= \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
Сложить многочлены $3x^4+2x^3-4x^2-8x+10$ и $8x^3-4x^2-9x-10.$
Решение
Найти разность $7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19$ и $5x^7-10x^5+7x^4+x^3+11x^2+20x+11.$
Решение
Сложим первый многочлен с противоположным второму: $$7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19 +$$ $$+\left(-5x^7+10x^5-7x^4-x^3-11x^2-20x-11\right)=$$ $$=\left(7-5\right)x^7+\left(10+0\right)x^6+\left(-20+10\right)x^5+\left(10-7\right)x^4+$$ $$+\left(-13-1\right)x^3+\left(8-11\right)x^2+\left(11-20\right)x+\left(19-11\right)=$$ $$=2x^7+10x^6-10x^5+3x^4-14x^3-3x^2-9x+8.$$
Найти произведение $2x^2+5x-1$ и $4x^2-x+3.$
Решение
Умножим два многочлена и приведём подобные: $$\left(2x^2+5x-1\right)\cdot \left(4x^2-x+3\right)=$$ $$=8x^4-2x^3+6x^2+20x^3-5x^2+15x-4x^2+x-3=$$ $$=8x^4+\left(20-2\right)x^3+\left(6-5-4\right)x^2+\left(15+1\right)x-3=$$ $$=8x^4+18x^3-3x^2+16x-3.$$
Найти произведение $-3x^2+7x+9$ и $6x^2+2x+8.$
Решение
На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда: $$u\left(x\right)=-3x^2+7x+9,\;a_{2}=-3,a_{1}=7,a_{0}=9,$$ $$v\left(x\right)=6x^2+2x+8,\;b_{2}=6,b_{1}=2,b_{0}=8,$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{4}x^4+c_{3}x^3+c_{2}x^2+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению, $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ $\left(i=0,1,2,3,4\right).$ Вычислим их. $$c_{0}=\sum_{\alpha+\beta=0}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{0}=9\cdot 8=72,$$ $$c_{1}=\sum_{\alpha+\beta=1}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=9\cdot 2 + 7\cdot 8=74,$$ $$c_{2}=\sum_{\alpha+\beta=2}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=9\cdot 6+7\cdot 2+\left(-3\right)\cdot 8=44,$$ $$c_{3}=\sum_{\alpha+\beta=3}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}=7\cdot 6+\left(-3\right)\cdot 2=36,$$ $$c_{4}=\sum_{\alpha+\beta=4}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{2}b_{2}=-3\cdot 6=-18.$$ Имеем: $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=-18x^4+36x^3+44x^2+74x+72.$$
Пусть $$u\left(x\right)=3x^4+5x^3+2x^2+x+4,$$ $$v\left(x\right)=3x^2+2x+5.$$ Установите соответствия между операциями и их результатами:
Элементы сортировки
$3x^4+5x^3+5x^2+3x+9$
$9x^6+21x^5+31x^4+32x^3+24x^2+13x+20$
$3x^4+5x^3-x^2-x-1$
$-3x^4-5x^3+x^2+x+1$
$u\left(x\right)+v\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$
$u\left(x\right)-v\left(x\right)$
$v\left(x\right)-u\left(x\right)$
Задание 6 из 6
6.
Количество баллов: 3
Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=2x^3+4x^2+6x+1,$$ $$v\left(x\right)=x^3+7x^2+3x+8.$$ Чему будет равен коэффициент при $x^3$ у многочлена $p\left(x\right)=u\left(x\right)*v\left(x\right)?$ (Введите только число)
Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полёте? Радиус Земли $R=6400$ км.
Примечание. Площадь эллипса с полуосями $a$ и $b$ равна $S=\pi ab.$
Решение
Траектория ракеты представляет собой часть очень вытянутого эллипса, в одном из фокусов которого находится центр Земли (см. рисунок). Скорость ракеты в верхней точке $D$ траектории почти равна нулю.
Согласно закону сохранения энергии: $$\frac{mv_0^2}2-G\frac{Mm}R\approx-G\frac{Mm}{2b}. \tag{$\cdot$}$$Здесь $M$ — масса Земли, $m$ — масса ракеты, $v_0=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R}}$ — начальная скорость ракеты (первая космическая скорость); $-G\displaystyle\frac{Mm}R$ и $-G\displaystyle\frac{Mm}{2b}$ — потенциальная энергия ракеты у поверхности Земли (при запуске) и в верхней точке траектории. Из $(\cdot)$ найдем большую полуось эллипса: $b\approx r.$
Из третьего закона Кеплера (квадраты периодов обращения по эллиптическим траекториям относятся как кубы больших полуосей эллипсов) следует, что полное время $T_э$ движения ракеты по всему эллипсу было бы равно периоду $T_0$ обращения спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, то есть $$T_э=T_0=\frac{2\pi R}{\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R}}}=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}.$$Из второго закона Кеплера (радиус-вектор, соединяющий тело, движущееся под действием силы тяготения по замкнутой орбите, с центром притяжения, за равные промежутки времени заметает равные площади) следует, что отношение времени движения $T$ по половине эллипса (участок $BDC$) к полному периоду $T_э$ равно отношению площади заштрихованной на рисунке фигуры $OBDC$ к полной площади эллипса:$$\frac T{T_э}=\frac{{\displaystyle\frac12}\pi ab+ab}{\pi ab}.$$ Отсюда находим время полёта $T:$ $$T=T_э\bigg(\frac12+\frac{1}{\pi}\bigg)=(\pi+2)\sqrt{\displaystyle\frac Rg}\approx\;1\;ч.\;9\;мин.$$
