Допустим, имеется система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ в евклидовом пространстве $\forall e \neq 0.$ Если мы возьмем произвольный вектор $a$ из $E$ и если бы ортонормированная система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ была бы базисом, то вектор $a$ совпадал бы с вектором $b$. Тогда рассмотрим вектор $a-b$ при $$b = \left(a, e_{1}\right)e_{1} + \left(a, e_{2}\right)e_{2} + … + \left(a, e_{n}\right)e_{n}.$$ Тогда вектор $a-b:$ $$\left(a-b, e_{k}\right) = \left(a-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)e_{i}, e_{k}\right) = \left(a, e_{k}\right)-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)\left(e_{i}, e_{k}\right) =$$ $$=\left(a, e_{k}\right)-\left(a, e_{k}\right) = 0.$$ То есть вектор $a-b$ ортогонален ко всем векторам системы $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle.$ Причем мы еще и доказали, что $$a-b = 0 \Rightarrow a = b.$$ Значит ЛНЗ система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ образует базис в евклидовом пространстве, т. к. векторы $S$ линейно выражают векторы $E.$ Таким образом, в любом конечномерном евклидовом пространстве мы можем найти ортонормированный базис, причем ортогонализировать его векторы можно процессом ортогонализации Грама-Шмидта, а нормировать по определению выше.