Существование ортонормированного базиса

Определение. Ортонормированный базис (ОНБ) — это базисная система векторов, которая ортогональна и нормирована.

Определение. Ортогональная система векторов — это система состоящая либо из только одного ненулевого вектора, либо из нескольких ненулевых векторов, которые попарно ортогональны.

Определение. Любой вектор евклидова пространства, скалярный квадрат которого равен единице, называется нормированным. Причем любой ненулевой вектор можно нормировать. Если вектор $a_{1} = \mu a,$ при $\mu = \left(a, a\right)^{-\frac{1}{2}},$ становится нормированным.

Определение. Система называется нормированной, если каждый вектор этой системы нормирован.

Теорема. (существование ОНБ в евклидовом пространстве) В любом конечномерном евклидовом пространстве можно найти ортонормированный базис.

Допустим, имеется система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ в евклидовом пространстве $\forall e \neq 0.$ Если мы возьмем произвольный вектор $a$ из $E$ и если бы ортонормированная система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ была бы базисом, то вектор $a$ совпадал бы с вектором $b$. Тогда рассмотрим вектор $a-b$ при $$b = \left(a, e_{1}\right)e_{1} + \left(a, e_{2}\right)e_{2} + … + \left(a, e_{n}\right)e_{n}.$$ Тогда вектор $a-b:$ $$\left(a-b, e_{k}\right) = \left(a-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)e_{i}, e_{k}\right) = \left(a, e_{k}\right)-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)\left(e_{i}, e_{k}\right) =$$ $$=\left(a, e_{k}\right)-\left(a, e_{k}\right) = 0.$$ То есть вектор $a-b$ ортогонален ко всем векторам системы $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle.$ Причем мы еще и доказали, что $$a-b = 0 \Rightarrow a = b.$$ Значит ЛНЗ система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ образует базис в евклидовом пространстве, т. к. векторы $S$ линейно выражают векторы $E.$ Таким образом, в любом конечномерном евклидовом пространстве мы можем найти ортонормированный базис, причем ортогонализировать его векторы можно процессом ортогонализации Грама-Шмидта, а нормировать по определению выше.

Смотрите также

  1. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С. Евклидовы пространства
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.215
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 93

Существование ортонормированного базиса

Тест на знание темы «Существование ортонормированного базиса»

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Определение. Векторы $a$ и $b$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.$$\left(a, b\right)=0.$$

Определение. Системы $S_{1} = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle,$ и $S_{2} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.

Теорема. Допустим, у нас есть линейно независимая система $S = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle.$ Тогда всегда найдется такая система $S_{орт} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ которая будет эквивалентной и ортогональной к $S,$ которая получается следующим методом:

  1. $b_{1} = a_{1},$
  2. $b_{j} = a_{j} + \sum\limits_{i=1}^{j-1}\lambda_{ji}b_{i},\: 2\leqslant j\leqslant k,$ при $\lambda_{ji}=-\dfrac{\left(a_{j}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}.$

Докажем же существование $S_{орт}$ эквивалентной $S$ с помощью индукции. При $k = 1$ $$b_{1} = a_{1}.$$ При $k = 2$ $$\left(b_{2}, b_{1}\right) = \left(a_{2} + \lambda_{21}b_{1}, b_{1}\right) = \left(a_{2}, b_{1}\right) + \lambda_{21}\left(b_{1}, b_{1}\right) =$$$$= \left(a_{2}, b_{1}\right)-\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{2}, b_{1}\right)}\left(b_{1}, b_{1}\right) = 0.$$ Из чего очевидно, что $S = \langle a_{1},a_{2}\rangle$ и $S_{1} = \langle b_{1},b_{2}\rangle$ — эквивалентны.

Теперь докажем для $k = m,$ при $2\leqslant j\leqslant k$ $$\left(b_{m}, b_{i}\right) = \left(a_{m} + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}b_{i}, b_{i}\right) = \left(a_{m}, b_{i}\right) + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}\left(b_{i}, b_{i}\right) =$$$$= \left(a_{m}, b_{i}\right)-\sum\limits_{i=1}^{m}\dfrac{\left(a_{m}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}\left(b_{i}, b_{i}\right) = 0.$$ Как видим, по индукции мы доказали, что любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
    $$a_{1} = (1, 2, 2, -1), a_{2} = (1, 1, -5, 3), a_{3} = (3, 2, 8, -7).$$

    Решение

    Первым делом, найдем $b_{1}$. В первом пункте пишется, что $b_{1} = a_{1}.$

    Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2), мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)} = -\dfrac{\left(1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot\left(-5\right) + 3\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{-10}{10}\right) = 1,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (1, 1, -5, 3) + (1, 2, 2, -1) = (2, 3, -3, 2).$$

    Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 2\cdot2 + 8\cdot2 + (-7)\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -3,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 2\cdot3 + 8\cdot\left(-3\right) + (-7)\cdot2\right)}{\left(2\cdot2 + 3\cdot3 + \left(-3\cdot\left(-3\right)\right) + 2\cdot2\right)} = 1.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 2, 8, -7)-3(1, 2, 2, -1) + 1(2, 3, -3, 2) = (2, -1, -1, 2).$$
    Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, 2)\rangle.$$

  2. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
    $$a_{1} = (1, 1, -1, -2), a_{2} = (5, 8, -2, -3), a_{3} = (3, 9, 3, 8).$$

    Решение

    Первым делом, найдем $b_{1}$, $b_{1} = a_{1}.$

    Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2) мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(5\cdot1 + 8\cdot1 + \left(-2\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-3\cdot\left(-2\right)\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{21}{7}\right) = 3,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (5, 8, -2, -3) + (-3, -3, 3, 6) = (2, 5, 1, 3).$$

    Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 9\cdot1 + 3\cdot\left(-1\right) + 8\cdot\left(-2\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = 1,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 9\cdot5 + 3\cdot1 + 8\cdot3\right)}{\left(2\cdot2 + 5\cdot5 + 1\cdot1 + 3\cdot3\right)} = -2.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 9, 3, 8) + 1(1, 1, -1, -2)-2(2, 5, 1, 3) = (0, 0, 0, 0).$$
    Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle(1, 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)\rangle.$$

Смотрите также

  1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»

Ф1316. О нагреве полупроводникового терморезистора

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 10 выпуск)

Условие

Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида $R = R_{0}(1-\alpha t).$ Когда терморезистор нагрет до температуры $t,$ он рассеивает в окружающую среду мощность $P = B(t-t_{окр}).$ Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением $U$?

Решение

Пусть при напряжении $U$ ток через терморезистор составит $I$. Тогда запишем $$R = \dfrac{U}{I} = R_{0}(1-\alpha t)$$ $$P = UI = B(t-t_{окр}).$$ Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру $t$: $$t = t_{окр} + \dfrac{UI}{B},$$ $$\dfrac{U}{I} = R_{0}\left(1-\alpha t_{окр}-\alpha\dfrac{UI}{B}\right),$$ $$U = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\dfrac{\alpha R_{0}I}{B} + \dfrac{1}{I}}.$$ При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением $R = R_{0}(1-\alpha t_{окр}).$ С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значению$$t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}.$$ Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения $U$? Сложность в том, что одному значению $U$ соответствуют два (либо — при больших напряжениях — ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение $U_{гр}$, выше которого решения нет, — оно соответствует минимальному значению знаменателю при токе $I = I_{кр}$:$$U_{гр} = U(I_{кр}) = U\left(\sqrt{\dfrac{\alpha R_{0}}{B}}\right) = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\sqrt{\dfrac{B}{(\alpha R_{0})}}\left(1 + \left(\dfrac{\alpha R_{0}}{B}\right)^2\right)}.$$ Выше этого напряжения решений нет. Но все же — какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем $U_{гр}?$ Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи — они становятся противоречивыми. Ясно, что «настоящий» терморезистор имеет другую — более сложную — зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при $t > t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}$), и там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором — большем значении, если резистор заранее «подогреть». Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.

А. Зильбеман

M708. О выпуклом четырехугольнике и квадратах

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 10 выпуск)

Условие

На сторонах выпуклого четырехугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площади $S_{1}$. Докажите, что:

  1. $S_{1}$ $\geqslant$ $2S;$
  2. $S_{1}$ $=$ $2S;$

в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

Доказательство

Рис. 1

Из рисунка 1 видно, что площадь $S_{1}$ четырехугольника $MNPQ$ (M, N, P, и Q — центры квадратов, построенных на сторонах данного четырехугольника ABCD) равна сумме площадей четырех розовых четырехугольников (с вершинами, соответственно, в центрах двух соседних квадратов и серединах двух соседних сторон исходного четырехугольника) и голубого параллелограмма. Найдем, чему равна площадь одного такого розового четырехугольника EMNF (см. рис. 1).

Обозначим через $\varphi$ угол при вершине $B$ исходного четырехугольника. Заметим, что $$S_{EMNF} = S_{EBF} + S_{EMB} + S_{FNB} \pm S_{MBN}$$ причем знак «$+$» берется, если $\dfrac{3\pi}{2}-\varphi < \pi$ (рис. 2),

Рис. 2

то есть $\dfrac{\pi}{2} < \varphi < \pi,$ и знак «$-$», если $0 < \varphi \leqslant {\pi}{2}$ (рис. 3).

Рис. 3

Подсчитав алгебраическую сумму последних трех слагаемых, найдем $$S_{EMNF} = S_{EBF} + \dfrac{|AB|^2}{8} + \dfrac{|BC|^2}{8} + \dfrac{|AB|\cdot|BC|}
{4}\sin\left({\dfrac{3\pi}{2}-\varphi}\right) = $$$$S_{EBF} + \dfrac{1}{8}\left(|AB|^2-2|AB|\cdot|BC|\cos\left(\varphi-|BC|^2\right)\right) = S_{EBF} + \dfrac{|AC|^2}{8}.$$ (мы воспользовались теоремой косинусов для треугольника ABC)

Проведя аналогичные вычисления для остальных розовых четырехугольников, окончательно получим, что $$S_{1} = S + \dfrac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2\right).$$ Но $S = \dfrac{1}{2}\left(|AC| \cdot |BD|\sin\alpha\right)$ ($\alpha$ — угол между диагоналями AC и BD), так что $\dfrac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2\right) \geqslant \dfrac{1}{2}|AC| \cdot |BD| \geqslant S$ и $S_{1} \geqslant 2S.$ — мы решили задачу а)
Поскольку последние неравенства превращаются в равенства в том и только в том случае, когда $|AC| = |BD|$ и $\sin\alpha = 1,$ то есть $(AC) \bot (BD),$ мы попутно получаем утверждение б).

П. Гусятников