Задача из журнала «Квант» (1991 год, 10 выпуск)

Условие

Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида $R = R_{0}(1-\alpha t).$ Когда терморезистор нагрет до температуры $t,$ он рассеивает в окружающую среду мощность $P = B(t-t_{окр}).$ Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением $U$?

Решение

Пусть при напряжении $U$ ток через терморезистор составит $I$. Тогда запишем $$R = \dfrac{U}{I} = R_{0}(1-\alpha t)$$ $$P = UI = B(t-t_{окр}).$$ Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру $t$: $$t = t_{окр} + \dfrac{UI}{B},$$ $$\dfrac{U}{I} = R_{0}\left(1-\alpha t_{окр}-\alpha\dfrac{UI}{B}\right),$$ $$U = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\dfrac{\alpha R_{0}I}{B} + \dfrac{1}{I}}.$$ При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением $R = R_{0}(1-\alpha t_{окр}).$ С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значению$$t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}.$$ Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения $U$? Сложность в том, что одному значению $U$ соответствуют два (либо — при больших напряжениях — ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение $U_{гр}$, выше которого решения нет, — оно соответствует минимальному значению знаменателю при токе $I = I_{кр}$:$$U_{гр} = U(I_{кр}) = U\left(\sqrt{\dfrac{\alpha R_{0}}{B}}\right) = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\sqrt{\dfrac{B}{(\alpha R_{0})}}\left(1 + \left(\dfrac{\alpha R_{0}}{B}\right)^2\right)}.$$ Выше этого напряжения решений нет. Но все же — какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем $U_{гр}?$ Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи — они становятся противоречивыми. Ясно, что «настоящий» терморезистор имеет другую — более сложную — зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при $t > t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}$), и там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором — большем значении, если резистор заранее «подогреть». Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.

А. Зильбеман

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 10 выпуск)

Условие

На сторонах выпуклого четырехугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площади $S_{1}$. Докажите, что:

1. $S_{1}$ $\geqslant$ $2S;$
2. $S_{1}$ $=$ $2S;$

в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

Доказательство

Из рисунка 1 видно, что площадь $S_{1}$ четырехугольника $MNPQ$ (M, N, P, и Q — центры квадратов, построенных на сторонах данного четырехугольника ABCD) равна сумме площадей четырех розовых четырехугольников (с вершинами, соответственно, в центрах двух соседних квадратов и серединах двух соседних сторон исходного четырехугольника) и голубого параллелограмма. Найдем, чему равна площадь одного такого розового четырехугольника EMNF (см. рис. 1).

Обозначим через $\varphi$ угол при вершине $B$ исходного четырехугольника. Заметим, что $$S_{EMNF} = S_{EBF} + S_{EMB} + S_{FNB} \pm S_{MBN}$$ причем знак «$+$» берется, если $\dfrac{3\pi}{2}-\varphi < \pi$ (рис. 2),

то есть $\dfrac{\pi}{2} < \varphi < \pi,$ и знак «$-$», если $0 < \varphi \leqslant {\pi}{2}$ (рис. 3).

Подсчитав алгебраическую сумму последних трех слагаемых, найдем $$S_{EMNF} = S_{EBF} + \dfrac{|AB|^2}{8} + \dfrac{|BC|^2}{8} + \dfrac{|AB|\cdot|BC|}
{4}\sin\left({\dfrac{3\pi}{2}-\varphi}\right) = $$$$S_{EBF} + \dfrac{1}{8}\left(|AB|^2-2|AB|\cdot|BC|\cos\left(\varphi-|BC|^2\right)\right) = S_{EBF} + \dfrac{|AC|^2}{8}.$$ (мы воспользовались теоремой косинусов для треугольника ABC)

Проведя аналогичные вычисления для остальных розовых четырехугольников, окончательно получим, что $$S_{1} = S + \dfrac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2\right).$$ Но $S = \dfrac{1}{2}\left(|AC| \cdot |BD|\sin\alpha\right)$ ($\alpha$ — угол между диагоналями AC и BD), так что $\dfrac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2\right) \geqslant \dfrac{1}{2}|AC| \cdot |BD| \geqslant S$ и $S_{1} \geqslant 2S.$ — мы решили задачу а)
Поскольку последние неравенства превращаются в равенства в том и только в том случае, когда $|AC| = |BD|$ и $\sin\alpha = 1,$ то есть $(AC) \bot (BD),$ мы попутно получаем утверждение б).

П. Гусятников