Определение. Ортонормированный базис (ОНБ) — это базисная система векторов, которая ортогональна и нормирована.
Определение. Ортогональная система векторов — это система состоящая либо из только одного ненулевого вектора, либо из нескольких ненулевых векторов, которые попарно ортогональны.
Определение. Любой вектор евклидова пространства, скалярный квадрат которого равен единице, называется нормированным. Причем любой ненулевой вектор можно нормировать. Если вектор $a_{1} = \mu a,$ при $\mu = \left(a, a\right)^{-\frac{1}{2}},$ становится нормированным.
Определение. Система называется нормированной, если каждый вектор этой системы нормирован.
Теорема. (существование ОНБ в евклидовом пространстве) В любом конечномерном евклидовом пространстве можно найти ортонормированный базис.
Допустим, имеется система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ в евклидовом пространстве $\forall e \neq 0.$ Если мы возьмем произвольный вектор $a$ из $E$ и если бы ортонормированная система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ была бы базисом, то вектор $a$ совпадал бы с вектором $b$. Тогда рассмотрим вектор $a-b$ при $$b = \left(a, e_{1}\right)e_{1} + \left(a, e_{2}\right)e_{2} + … + \left(a, e_{n}\right)e_{n}.$$ Тогда вектор $a-b:$ $$\left(a-b, e_{k}\right) = \left(a-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)e_{i}, e_{k}\right) = \left(a, e_{k}\right)-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)\left(e_{i}, e_{k}\right) =$$ $$=\left(a, e_{k}\right)-\left(a, e_{k}\right) = 0.$$ То есть вектор $a-b$ ортогонален ко всем векторам системы $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle.$ Причем мы еще и доказали, что $$a-b = 0 \Rightarrow a = b.$$ Значит ЛНЗ система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ образует базис в евклидовом пространстве, т. к. векторы $S$ линейно выражают векторы $E.$ Таким образом, в любом конечномерном евклидовом пространстве мы можем найти ортонормированный базис, причем ортогонализировать его векторы можно процессом ортогонализации Грама-Шмидта, а нормировать по определению выше.
Смотрите также
- Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С. Евклидовы пространства
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.215
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 93
Существование ортонормированного базиса
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест на знание темы «Существование ортонормированного базиса»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Алгебра 0%
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 3Рубрика: АлгебраВ любом ли конечномерном евклидовом пространстве $\exists$ ортонормированный базис?
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 16Рубрика: АлгебраОпределение нормирования.
- (любой, каждый, все, Любой, Каждый, Все) вектор (евклидова, Евклидова) пространства, скалярный квадрат которого равен (единице, 1, одному, единичке, Единице, Одному, Единичке), называется нормированным. Причем любой (не нулевой) вектор можно нормировать.
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 12Рубрика: АлгебраКакая система может образовать базис в евклидовом пространстве?
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 20Рубрика: АлгебраСопоставьте части предложений.
Элементы сортировки
- вектор, скалярный квадрат которого равен единице.
- система, в которой скалярный квадрат каждого вектора равен единице.
- наличие в системе одного не нулевого вектора или векторов, которые попарно ортогональны.
- базисная система которая ортогональна и нормирована.
-
Нормированный вектор - это
-
Нормированная система - это
-
Ортогональность системы векторов - это
-
Ортонормированный базис - это
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 15Рубрика: АлгебраОртогональность системы векторов
Правильно
Неправильно