Метка: существование производной в точке

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция $y = f\left(x\right)$ определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности $U\left(x_{0}\right)$, то она непрерывна в точке $x_{0}$.

Доказательство: Пусть функция $y = f\left(x\right)$ — имеет производную в точке $x_{0}\Rightarrow$;$\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=$${f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} =$${f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)$, где $\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}$$\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =$$\left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow$$\lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow$ функция $f\left(x\right)$ — непрерывна в точке $x_{0}$.

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
$y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}$
$\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|$

При $x_{0} = 0$ и $\Delta x > 0$, то получим $\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1$, где $\Delta x < 0$, а значит функция $y = |x|$ — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Непрерывность в точке и существование производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?

   • $$x^2$$
   • $$|x|$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$4x^3$$
   • $$e^x$$
   • $$\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
   • $$\cos x$$
   • $$\frac{1}{1+x^2}$$
   • $$\ln\left(x-1\right)$$
   Правильно 5 / 5Баллы

   Отлично!

   Неправильно / 5 Баллы

   Ай-ай, будьте внимательней.
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 7

   Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.

   Элементы сортировки

   • не дифференцируема в точке 0
   • не дифференцируема в точке -1
   • дифференцируема на всей области определения
   • не является дифференцируемой

   • $$sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

   • $$\frac{1}{1+x^5}$$

   • $$e^{x^2}$$

   • Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?

   • Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно (непрерывна, не прерывна, Не прерывна, Непрерывна) в этой точке. Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке? (Не достаточно, недостаточно, Недостаточно, не достаточно, нет, Нет).
   Правильно
   

   Неправильно