сходимость интегралов

18.1.1 Несобственные интегралы I рода (интегралы по неограниченным промежуткам)

Пусть функция $f$ задана на промежутке $[a, +\infty)$ , где $a \in R$ , и интегрируема по Риману на каждом отрезке $[a, \xi)$ , где $a \lt \xi \lt +\infty$ . Выражение $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ называют несобственным интегралом I рода. Если существует $\lim\limits_{\xi\to +\infty}\int_a^\xi f(x) dx$ то этот несобственный интеграл называют сходящимся, а его значение полагают равным:
$\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{\xi \to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx.$
Если же не существует конечного предела, то несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл:
$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx = \lim_{\eta\to -\infty}\int_{\eta}^{a}f(x)dx.$

Пусть теперь функция $f$ задана на всей действительной прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке $\left[\eta, \xi\right]$ , где $-\infty \lt \eta \lt \xi \lt +\infty.$
Если существует конечный двойной предел $\lim\limits_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_\eta^\xi f(x) dx$ ,то несобственный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ называется сходящимся, а его значение полагают равным $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \lim_{\substack{\xi\to +\infty\\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx.$

Сходимость интеграла $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ равносильна тому, что сходятся оба интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ и $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ , причем имеет место равенство $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$
где a – произвольное действительное число.

Пусть при некотором

$a \in R$ интегралы

$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ и

$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ сходятся. Тогда для

$-\infty \lt \eta \lt \xi \lt +\infty$ будем иметь

$\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \int_{\eta}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{\xi}f(x)dx$
Отсюда, переходя к пределам при

$\xi → +\infty$ и

$\eta → -\infty$ , получаем

$\lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{a}^{\xi}f(x)dx=\\ = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$
т. е. интеграл

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится и для него справедливо равенство

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ .

Для доказательства обратного утверждения зафиксируем произвольное $a \in R$ и предположим, что существует
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx.$
Тогда, в силу критерия Коши существования двойного предела, отсюда
следует, что для любого $\varepsilon\gt 0$ найдется такое $A$ , что для любых $\xi^{\prime}, \xi^{\prime\prime} \gt A$ и для любых $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\lt −A$ справедливо неравенство
$\left|\displaystyle\int_{\eta^{\prime}}^{\xi^{\prime}}f(x)dx — \int_{\eta^{\prime\prime}}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right|\lt \varepsilon$
Зафиксируем $\varepsilon \gt 0$ и найдем такое $A$ . Можем считать, что $A\gt|a|$ . Выберем $\eta=\eta^{\prime}=\eta^{\prime\prime}\lt −A$ и $\xi^{\prime}, \xi^{\prime\prime}\gt A$ . Тогда получим
$\left|\displaystyle\int_{\xi^{\prime}}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right| = \left|\displaystyle\int_{\eta}^{\xi^{\prime}}f(x)dx — \int_{\eta}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right|\lt \varepsilon,$
т. е. выполнено условие критерия Коши существования предела
$\lim_{\xi\to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx.$
Отсюда следует, что интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходится. Аналогично получаем, что и интеграл $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ также сходится. Имеем
$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim_{\eta\to -\infty}\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \lim_{\xi\to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx =\\ = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\left(\displaystyle\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{\xi}f(x)dx\right) = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ Последний предел существует в силу условия, а выражение справа не
зависит от $a$ . Тем самым доказано $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ для любого $a \in R$ .

Вычислим $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \lim_{\xi\to +\infty}\int_{0}^{\xi}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{\xi\to +\infty} {\mathrm {arctg}}\,x\bigg|_0^{\xi} = \lim_{\xi\to +\infty}{\mathrm {arctg}}\,x=\frac{\pi}{2}.$

Несобственный интеграл $\int_0^{+\infty}\sin x dx.$ расходится. В самом деле, $\int_0^{\xi}\sin x dx =-\cos x \bigg|_0^{\xi}= 1-cos {\xi}$ не имеет предела.

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить $\int_0^{+\infty}e^{-px}dx.$

\underline {Решение:}

$\int_0^{+\infty}e^{-px}dx= -\frac{1}{p}e^{-px}\bigg|_0^{+\infty}=-\frac{1}{p}\lim_{x\to +\infty}(e^{-px}-1)= \begin{cases} \frac{1}{p}, \text{если $p \gt 0$;} \\ +\infty, \text{если $p\lt 0$.} \end{cases}$ При $p \gt 0 \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-px}= \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{px}}=0$ , так как $e^{px}\to+\infty$ при $x\to+\infty.$ При $p\lt 0 \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-px} = +\infty.$

Таким образом, интеграл $\int_0^{+\infty}e^{-px}dx$ сходится при $p \gt 0$ и расходится при $p\lt 0.$

[свернуть]

Пример 2

При каких значениях показателя $\lambda \gt 0$ существует несобственный интеграл $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\lambda}, (a\gt 0).$

\underline {Решение:}

Пусть $\lambda\neq1$ , тогда $\int_a^{\xi}\frac{dx}{x^\lambda}=\frac{1}{1-\lambda}x^{1-\lambda}\bigg|_a^\xi=\frac{1}{1-\lambda} (\xi^{1-\lambda} — a^{1-\lambda}).$
Это выражение при $\xi\to+\infty$ имеет предел $\infty$ ( $\lambda \lt 1$ ) или конечное число $\frac{1}{1-\lambda} a^{1-\lambda}$ ( $\lambda \gt 1$ ).

Если $\lambda=1$ , имеем $\int_a^{\xi}\frac{dx}{x}=\ln(x)\bigg|_a^\xi=\ln(\xi)-\ln(a)$ и при $\xi\to+\infty$ в пределе получается $+\infty$ . Таким образом, интеграл $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ при $\lambda\gt 1$ сходится (и равен $\frac{1}{1-\lambda} a^{1-\lambda}$ ), а при $\lambda\leq 1$ расходится.

[свернуть]

Пример 3

Вычислить $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.$

\underline {Решение:}

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\lim\limits_{x\to{+\infty}} {\mathrm {arctg}}\,x -\lim\limits_{x\to{-\infty}} {\mathrm {arctg}}\,x = \frac{\pi}{2} -(-\frac{\pi}{2})=\pi.$

Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ сходится и равен $\pi$ .

[свернуть]

Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам

Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.

Литература

Коляда В.И.,Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу / В.И.Коляда.-Одесса: Изд-во «Астропринт», 2010. т.2. -С.102-105.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике / И.А.Каплан. -Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1967. ч.3. -С.760-761.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М.Фихтенгольц -Москва: Изд-во «Наука», 1969. т.2. -С.553.
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

функция $f$ непрерывна и имеет ограниченную первообразную $F$ при $x\in[a;+\infty)$ ;
функция $g$ непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале $[a;+\infty)$ ;
$\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.$

Тогда интеграл $I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Спойлер

Покажем, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши на промежутке $[a,+\infty)$ . Проинтегрируем эту функцию по частям:

$\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,$

где $\xi’,\xi»>a$ .
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

$\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq$

$M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|$

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq$

$M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.$

Обратим внимание на то, что при $g'(x)\leq0$ выполняется $|g'(x)|=-g'(x)$ , и при $g'(x)\geq0$ выполняется $|g'(x)|=g'(x)$ . Рассмотрим эти два случая:

$I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);$
$I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).$

Получается, что

$|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).$

Тогда:

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)$ (*)

Поскольку $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$ , то

$\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall$

$x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}$

Для $\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)$ из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

$\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.$

Получили, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов $I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси $[a,+\infty)$ :

функция $f$ непрерывна и интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходится;
функция $g$ непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ и $\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx$ имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции $g$ , одна из функций $g$ или $-g$ убывает.
Предположим, что убывает функция $g$ . Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c$ . Так как функция $g$ убывает, то при $x$ стремящемся к $+\infty$ разность $g(x)-c$ тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций $f$ и $g$ в следующем виде:

$f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).$

В силу сходимости интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ , интеграл $\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx$ сходится. Из этого же условия следует, что интеграл $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ограничен. Действительно, из существования конечного предела $\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ следует ограниченность функции $F$ в окрестности $U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}$ бесконечно удалённой точки $+\infty$ . Из непрерывности функции $F$ на сегменте $[a,b]$ следует её ограниченность. Получили, что $F$ ограничена на полуинтервале $[a,+\infty)$ . Поскольку первообразная функции $f$ это $F$ , то $f$ имеет ограниченную первообразную на $[a,+\infty)$ .
Для интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$ выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$ , интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx$ . Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов $\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}$ и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

$\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).$

$f(x)=x\sin(x^2)$ , $g(x)=\frac{1}{x}$ . Пусть

$F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,$

и применим подстановку $z=t^2$ . Тогда

$\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.$

Функция $g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0$ , а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}$ . Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть $f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}$ , $g(x)=arctg(x)$ . Интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы $\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2$ , а $\frac{1}{x^p}$ монотонно стремится к $0$ . Функция $g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0$ . По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература

Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: сходимость интегралов

18.1.1 Несобственные интегралы I рода (интегралы по неограниченным промежуткам)

Примеры решения задач

Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Литература

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат