Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств
Формулировка
Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:
Если начиная с какого-то номера n0ϵN ∀n>n0 выполняется неравенство an+1an≤q<1 qϵR, то ряд сходится.
Если же ∃n0ϵN:∀n>n0 an+1an≥1, то ряд расходится.
Доказательство
Рассмотрим неравенство an+1an≤q для n=1 и n=2.
Таким образом ∀n будет справедливо неравенство an≤qn−1∗a1. При этом ряд ∑∞n=1qn−1∗a1 является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд ∑∞n=1an тоже сходится.
Если an+1an≥1, то справедливо неравенство an+1≥an>0, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (limn→∞an=0). Значит ряд ∑∞n=1an расходится.
Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.
Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)
Формулировка
Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:
Если существует предел:
Тогда:
- Если K<1, то ряд сходится.
- Если K>1, то ряд расходится.
- Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.
Доказательство
Пусть limn→∞an+1an=K. Из определения предела запишем: ∀ε>0∃Nε:∀n>Nε|an+1an−K|<ε⇔K−ε<an+1an<K+ε. Если K<1, то положим ε=1−K2, тогда q=K+ε<1 и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же K>1, то положим ε=K−12, тогда q=K−ε>1, а значит ряд расходится. Для случая K=1 приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида ∑∞n=11n расходится и при этом limn→∞nn+1=1. В то же время ряд ∑∞n=11n2 сходится и при этом limn→∞n2(n+1)2=limn→∞n2n2+2n+1=1.
Пример
Дан ряд ∑∞n=1ann!. Определить характер сходимости ряда.
Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме.
limn→∞an+1(n+1)!ann!=limn→∞an+1=0<1.
Значит исходный ряд сходится.
Литература
- Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.271-272
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.10-12.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.20-21.
Тест
Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал