Метка: сходимость рядов

Пусть функция $f$ задана на полуинтервале $[a, b)$, где $-\infty\lt a \lt b \lt +\infty$ и интегрируема по Риману на любом отрезке $[a,\xi]$, где $a\lt\xi\lt b$. Если существует конечный предел $\lim\limits_{\xi\to b-0}\int_a^\xi f(x) dx$, то несобственный интеграл второго рода $\int_a^b f(x) dx$ называют сходящимся и полагают $$\int_a^b f(x) dx=\lim\limits_{\xi\to b-0}\int_a^\xi f(x) dx.$$ В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Замечание 1. Предполагается, что функция $f$ неограничена в любой левой полуокрестности точки $b$. Действительно, если функция $f$ ограничена на $[a, b)$ и интегрируема на каждом отрезке $[a,\xi]$ при любом $\xi\lt b$, то, используя критерий интегрируемости функции в смысле Римана в терминах колебаний, легко можно показать, что функция $f$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, b]$ (в самой точке $b$ функцию можно доопределить произвольным образом и это не влияет ни на свойство функции быть интегрируемой, ни на величину интеграла Римана $\int_a^b f(x) dx)$.

Замечание 2. Если функция $f$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, b]$, то, как было установлено ранее, интеграл с переменным верхним пределом $\varphi(\xi)=\int_a^\xi f(x) dx$ является непрерывной на $[a, b]$ функцией. В частности, существует $\lim\limits_{\xi\to b-0}\varphi(\xi)=\int_a^b f(x)dx$. Это означает, что для интегрируемой в смысле Римана функции интеграл в несобственном смысле также существует и их значения совпадают.

Если функция $f$ неограничена в любой левой полуокрестности точки $b$, то эту точку называют особой точкой и говорят, что в точке $b$ функция имеет особенность. Иногда это обозначают так: $\int_a^{(b)} f(x)dx$. Аналогично определяется $\int_{(a)}^b f(x)dx$ с особенностью в точке $a$. Т.е., полагаем
$$\int_{(a)}^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\eta\to a+0}\int_\eta^b f(x) dx,$$
если предел справа существует. В этом случае интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пример 1. У интеграла $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ имеется особенность в точке $x=0$. Имеем
$$\int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\lim\limits_{\xi\to {1-0}} \int_{0}^{\xi} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \lim\limits_{\xi\to {1-0}}\arcsin\xi = \arcsin 1=\frac{\pi}{2}.$$

Пример 2. Рассмотрим интеграл $\int_{0}^1\frac{dx}{x^ \alpha}.$ при $\alpha\gt 0$.
Он имеет особенность в точке $x=0$. При $\alpha\neq 1$ имеем: $$\int_\eta^1 \frac{dx}{x^{\alpha}}=\frac{1}{1-{\alpha}} x^{1-{\alpha}}\bigg|_{\eta}^1=\frac{1}{1-{\alpha}}-\frac{\eta^{1-\alpha}}{1-{\alpha}},$$ а если $\alpha=1$, то $$\int_{\eta}^1 \frac{dx}{x^{\alpha}}=\ln x\bigg|_\eta^1=\ln\frac{1}{\eta}.$$

Если $\alpha\lt 1$, то существует $$\lim\limits_{\eta \to {0+}}\int_{\eta}^1 \frac{dx}{x^{\alpha}} = \frac{1}{1-\alpha}.$$

Если же $\alpha\geqslant 1$, то предел $\lim\limits_{\eta \to {0+}}\int_{\eta}^1 \frac{dx}{x^{\alpha}}$ не существует. Следовательно, $$\int_\eta^1 \frac{dx}{x^{\alpha}} = \frac{1}{1-{\alpha}} (\alpha\lt 1)$$
и интеграл расходится при $\alpha\geqslant 1$.

Интеграл с несколькими особенностями определяется как сумма интегралов по таким промежуткам, на каждом из которых имеется лишь одна особенность. При этом интеграл называют сходящимся, если сходятся все
интегралы указанной суммы. Если хотя бы один из них расходится, то и исходный интеграл называют расходящимся.

Пример. Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac {dx}{\sqrt{x} \sqrt[3]{x-1} \sqrt[4]{x-2}}$ определяется как
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac {dx}{\sqrt{x} \sqrt[3]{x-1} \sqrt[4]{x-2}}=\int_{-\infty}^a + \int_a^0 + \int_0^b + \int_b^1 + \int_1^c + \int_c^2 + \int_2^d + \int_d^{+\infty},$$ где $-\infty \lt a \lt 0 \lt b \lt 1 \lt c \lt 2 \lt d \lt +\infty$.

Примеры решения задач

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Какие из нижеперечисленных интегралов относятся к интегралам II рода:

   1. $\int_0^{10} {x^2} dx$
   2. $\int_0^2 \frac{1}{x^2} dx$
   3. $\int_1^2 \frac{1}{x^2}dx$
   4. $\int_0^{+\infty} \sin x dx$
   5. $\int_0^1 \ln x dx$

   • a
   • b
   • c
   • d
   • e
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Точка $x=1$ для интеграла $\int_1^2 \frac{dx}{x-1}$ называется

   • (особой)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   Интеграл $\int_1^2 \frac{dx}{x{\ln x}}$

   1. сходится
   2. расходится

   • a
   • b
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Вычислить значение интеграла $\int_{-1}^8 \frac{dx}{\sqrt[3]x}$ и выбрать правильный ответ.

   1. $\frac {2}{9}$
   2. $\frac {9}{2}$
   3. $\frac {9}{4}$

   • a
   • b
   • c
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 3

   Вычислить интеграл $\int_0^1 \ln x dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

1. Коляда В.И.,Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу / В.И.Коляда.-Одесса: Изд-во «Астропринт», 2010. ч.2. -С.106-108.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М.Фихтенгольц.-Москва: Изд-во «Наука», 1964. т.2. -С.579.
3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д.Кудрявцев. -Москва: изд-во «Наука», 1989. -С.397.
4. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.