Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Пусть функция f задана на полуинтервале [a,b), где $-\infty<a<b<+\infty$, и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,\xi], где $a<\xi<b$. Тогда, если существует конечный предел \lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}, то несобственный интеграл $II$ рода \int_{a}^{b}{f(x)dx} называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный \lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}, то несобственный интеграл $II$ рода \int_{a}^{b}{f(x)dx} называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда  f(x) неограниченна  в окрестности точек b,a. При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию \frac{1}{\sqrt{1-x}}. Эта функция непрерывна на промежутке [0,1), но не ограничена на этом промежутке. При \forall\xi\in [0,1) функция \frac{1}{\sqrt{1-x}} интегрируема на отрезке [0,\xi], причем J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi}), откуда следует, что существует конечный \lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции \frac{1}{\sqrt{1-x}} на промежутке [0,1) равен 2, т.е. \int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2. Число 2 можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *