Processing math: 100%

Метка: Теорема Лейбница

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида u1−u2+u3−u4+…+(−1)n−1un+…, где un—это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
u1−u2+u3−u4+…+(−1)n−1un+…(∗)
Выполняются два условия:

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине u1>u2>…>un>…
  • Члены ряда стремятся к нулю limn→∞un=0

то ряд (∗) сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: S2n=(u1−u2)+(u3−u4)+…+(u2n−1−u2n).

По условию u1>u2>…>u2n−1>u2n, следовательно все разности в скобках положительны, значит, S2n увеличивается с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны, если переписать так S2n=u1−[(u2−u3)+(u4−u5)+…+(u2n−2−u2n−1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и  S2n>0, поэтому  S2n<u1для любого  n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  limn→∞S2n=S. При этом  0<S2n≤u1.

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞:limn→∞S2n+1=limn→∞S2n+limn→∞u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел S, поэтому limn→∞Sn=S, следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.


Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература: