Метка: теорема лопиталя

Первая теорема Лопиталя
Пусть функции $f$ и $g$ дифференцируемы на интервале $\left ( a,b \right )$, $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to a+0}g(x)=0$ и ${g}'(x)\neq 0$ для всех $x\in\left ( a, b \right )$. Далее, пусть существует $$\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}= A ,$$ где $A$ может быть конечным $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$. Тогда существует $$\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$$ и этот предел равен  $A$.

Доопределим по непрерывности функции $f$ и $g$ в точке $a$, полагая $f(a)=g(a)=0$. Тогда для любого $x\in\left ( a, b \right )$ в силу теоремы Коши, найдется такая точка $\xi_{a}\in(a,x)$, что $$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}= \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\displaystyle\frac{{f}'(\xi_{x})}{{g}'(\xi_{x})}.$$
Если мы покажем, что из условий $\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}= A$ и  $\xi_{a}\in(a,x)$ следует, что $\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(\xi_{a})}{{g}'(\xi_{a})}=A$, то сразу получим, что и $\lim\limits_{x\rightarrow a+0}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}= A$
Итак, осталось показать, что условие $\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}= A$ влечет равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(\xi_{a})}{{g}'(\xi_{a})}=A$, где $\xi_{a}\in(a,x)$. Пусть $A$ конечно. Тогда для заданного $\varepsilon > 0$ найдем такое $\delta > 0$, что из условия $a<x<a+\delta$ следует неравенство $$\left | \displaystyle\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}-A \right |< \varepsilon.$$
Но из $a< \xi_x< x$ следует также, что и $a< \xi_x< a+\delta$ , и поэтому
$$\left | \displaystyle\frac{{f}'(\xi_x)}{{g}'(\xi_x)}-A \right |< \varepsilon.$$
Отсюда следует требуемое равенство
$$\lim\limits_{x\rightarrow a+0 } \displaystyle\frac{{f}'(\xi_x)}{{g}'(\xi_x)}=A.$$
Аналогично, с очевидными изменениями в форме записи, исчерпываются случаи $A=+\infty$, $A=-\infty$ и $A=\infty$.