Метка: теорема об обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если $f\in C[a;b]$ и $f$ строго возрастает на $I = [a;b]$, то на $E = [f(a),f(b)]$ определена функция $x=g(y)$, которая будет обратной к $f$, непрерывной на $[f(a), f(b)]$ и строго возрастающей на $[a;b]$.

Если $f\in C[a;b]$ и $f$ строго убывает на $[a;b]$, то на $[f(b), f(a)]$ определена функция $x=g(y)$, которая будет обратной к $f$, непрерывной на $[f(b), f(a)]$ и строго убывающей на $[a;b]$.

Доказательство:

Предположим, что функция $f$ строго возрастает на отрезке $I$.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений $E$ непрерывной функции $f$ тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции $f$ для каждого $y\in E$ существует единственная точка $x\in I$ такая, что $f(x)=y$.
Следовательно, для функции $f$ существует обратная функция $f^{-1}$, определенная на отрезке $E$, имеющая множество значений $I$.

Покажем, что $f^{-1}$ строго возрастает на $E$.

Пусть $y_{1}$ и $y_{2}$ — две произвольные точки из $E$ такие, что $y_{1}<y_{2}$, и прообразами этих точек будут точки $x_{1}$ и $x_{2}$. $f^{-1}(y_{1})=x_{1}$ и $f^{-1}(y_{2})=x_{2}$.

Поскольку $f$ — строго возрастающая функция, то неравенство $y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2}$ возможно тогда и только тогда, когда $x_{1}<x_{2}$ или, что то же самое, когда $f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})$.

В силу произвольности $y_{1} < y_{2}$ делаем вывод, что функция $f^{-1}$ строго возрастает на множестве $E$.

Для случая, когда $f$ строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

• Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо (с. 87)