Задачи из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)
Условие
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка — основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2:1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Доказательство
Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC,P- точка пересечения высот тетраэдра, AA1 — высота тетраэдра из вершины A.
MA2||A3A1 и AA2:A2A1=2:1.
Угол MA2P — прямой, так что точка A2 лежит на сфере с диаметром MP. Аналогично рассматриваются остальные случаи.