Задача из журнала «Квант» (1981 год, 4 выпуск)

Условие

а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третий — четвертого в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$ (рис. 2). Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) *В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третий — четвертого в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$. Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

в) *В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Докажите, что шесть точек касания принадлежат одной сфере или одной плоскости.

Решение

а) Прежде всего, что если какие-то три из точек $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, то и четвертая точка лежит на той же прямой (рис. 1).

Пусть все четыре круга касаются внешним образом (рис. 2) и пусть $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$, $DD_{1}$ — отрезки общих касательных.

Из $\widehat{A_{1}A}D = \widehat{D_{1}D}A$, $\widehat{D_{1}D}C = \widehat{C_{1}C}D$, $\widehat{B_{1}B}C = \widehat{C_{1}C}B$ и $\widehat{A_{1}A}B = \widehat{B_{1}B}A$ следует $\widehat{A} + \widehat{C} = \widehat{B} + \widehat{D}$; значит, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

В случае, когда не все четыре круга касаются внешним образом (рис. 3), рассуждения аналогичны.

б) Если центры шаров лежат в одной плоскости, то и все точки касания лежат в этой плоскости, так что в этом случае задача б) сводится к задаче а).

Если же центры $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, $O_{4}$ — не в одной плоскости, проведем плоскость через три точки касания, например $A$, $B$, $C$ (рис. 4), и докажем, что четвертая точка $D$ принадлежит этой плоскости.

Пусть $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$, $h_{4}$ — расстояния от точек $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, $O_{4}$ до плоскости $(ABC)$, а $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$, $R_{4}$ — радиусы шаров. Ясно, что $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$, $\frac{h_{2}}{h_{3}} = \frac{R_{2}}{R_{3}}$, $\frac{h_{3}}{h_{4}} = \frac{R_{3}}{R_{4}}$ (см. рис. 4). Перемножая эти отношения, получаем $\frac{h_{1}}{h_{4}} = \frac{R_{1}}{R_{4}} = \frac{\mid O_{1}D\mid}{\mid O_{4}D\mid}$, что и означает принадлежность точки $D$ плоскости $(ABC)$.

Таким образом, плоскость $(ABC)$ пересекает шары по четырем кругам, касающимся, соответственно, друг друга в точках $A$, $B$, $C$, $D$ так, как сказано в пункте а). Из этого следует утверждение задачи б).

в) Пусть $A$ — точка касания первого и второго, $B$ — первого и третьего, $C$ — первого и четвертого, $D$ — второго и третьего, $E$ — второго и четвертого, $F$ — третьего и четвертого шаров.

По доказанному в пункте б) точки $A$, $C$, $F$, $D$ лежат на одной окружности или прямой. Точки $A$, $E$, $F$, $B$ обладают тем же свойством.

У этих двух четверок точек есть две общие точки: $A$ и $F$. Поэтому если одна из четверок лежит на прямой, все шесть точек лежат в одной плоскости.

Если же эти четверки лежат на двух окружностях, находящихся в разных плоскостях и имеющих общую хорду $AF$, то через эти окружности можно провести сферу; центром этой сферы является точка пересечения перпендикуляров к плоскостям этих окружностей (эти перпендикуляры лежат в плоскости, проходящей через центры окружностей и середину их общей хорды $AF$).

В. Произволов