Метка: факториал

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Условие

Сколькими способами можно расставить восемь ладей на черных полях шахматной доски так, чтобы они не били друг друга?

Решение

Если не выдвигать ограничений на цвет полей, то $8$ ладей допустимым образом можно расставить $8!$ различными способами; вообще для доски размером $n\times{n}$ число способов расстановки n ладей равно числу перестановок из n элементов, т.е. $n!$.

Но нам нужно учесть ограничение на цвет полей: ладьи расставляются только на черных полях доски. Перекрасим черные поля доски в красный и синий цвета. При этом всякое черное поле, расположенное на нечетной вертикали (но на четной горизонтали), сделаем красным, а всякое черное поле, расположенное на четной вертикали (но на нечетной горизонтали), сделаем синим (см. рисунок). Из $8$ ладей, стоящих допустимым образом на черных полях, $4$ ладьи окажутся на красных полях, а остальные $4$ ладьи – на синих.

Красные поля образуют как бы отдельную шахматную доску размером $4\times4$, поэтому число способов расстановки $4$ ладей на красных полях равно $4! = 24$. То же можно сказать о синих полях.

В результате число способов для допустимых расстановок $8$ ладей равно $24^2.$

Ответ: $24^2$.

В. Произволов