Пусть x→x0, тогда из неравенств следует, что ξ→x0, и в силу существования f(n)(x0) существует
limx→x0r(n−1)n(x)−r(n−1)n(x0)x−x0=
=limx→x0r(n−1)n(ξ)−r(n−1)n(x0)ξ−x0=r(n)n(x0)=0
Так как выполняются равенства rn(x0)=r′n(x0)=…=r(n)n(x0)=0
Таким образом, правая часть формулы (∗) имеет при x→x0предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что rn(x)=o((x−x0)n),x→x0, то есть f(x)−Pn(x)=o((x−x0)n), что и требовалось доказать.
Пример:
Разложить функцию y=cos2(x) в окрестности точки x0=0 по Тейлору с остатком в форме Пеано.
Решение
Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:
cos(x)=1−x22!+x44!−…+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n+1)
Представим функцию cos2(x) в виде:
cos2(x)=1+cos(2x)2=12+12cos(2x)
Заменим в табличном разложении x на 2x и подставим представление косинуса.Получим
cos2(x)=1−x2+x43−…+(−1)n22n−1x2n2n!+o(x2n+1)
Источники:
Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.
Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
6
Информация
Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
максимум из 6 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
В условиях теоремы функция latexf(x) представима в виде…
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
2.
Лемма, помогающая доказать теорему, гарантирует выполнение следующего равенства при определённых условиях:
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 6
3.
Каким условиям должны удовлетворять функции latexφ(x) и latexψ(x) для того, чтоб для них выполнялась лемма, доказанная в этой главе?
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Чему получился равен latex \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}} &s=1?
(буквами, например «один», «бесконечность», «ноль», «три»)
Таким образом мы получаем следующую формулу:
[latex]\frac{0-r_{n}(x_{0},x)}{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}= -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!\varphi(\xi)}(x-\xi)^{n}[/latex]. Отсюда
[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\varphi'(\xi)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex].
[latex]\blacksquare[/latex]
Список литературы:
1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)
Если остаток в формуле Тейлора latex |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1, то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: latex f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1.
latex r_{n}(x_{0},x) &s=1 — определяет погрешность формулы. Если же latex f(x) &s=1 вычисляется по формуле при конкретном числовом значении latex x &s=1, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью latex \alpha _{0} &s=1 (погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна latex (n+2)\alpha _{0} &s=1.
Пусть latex \alpha &s=1 — заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать latex \alpha _{0} &s=1 так, чтобы обеспечить выполнение неравенства latex (n+2)\alpha _{0}\leq\alpha &s=1, то есть latex \alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1. При достаточно малых latex n &s=1, например, latex n\leq8 &s=1: latex \alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1.
Обычно точность вычислений latex \alpha &s=1 задается в виде: latex \alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)} &s=1. Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком. Мы установили, что один запасной знак обеспечит требуемую точность при latex n\leq8 &s=1.
Пример
Вычислить latex e^{0,1} &s=1 с точностью до latex \alpha=0,001=10^{-3} &s=1.
Решение
Оценкой определим, в какой точке удобнее раскладывать исходную функцию (найдём ближайшую к необходимой точку, где известно точное значение функции):
Эта запись удобна тем, что вычисляя последовательность слагаемых latex U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1 мы имеем возможность одновременно видеть достигнута ли требуемая точность.
По условию:
latex \alpha=10^{-3} &s=1
Подставим в оценку, сделанную ранее:
latex \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0,00005 &s=2
Для latex U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1 полагаем latex k=0,1,2,… &s=1
latexx=0,1⇒U0=1;U1=0,1;U2=0,005;
latex U_{3}=0,0002; U_{4}=0,00005 &s=1— выбранное значение latexk подходит.
Если существует [latex]f^{(n)}(x_{0})[/latex] и при [latex]x\rightarrow x_{0} [/latex] [latex]f[/latex] представима в виде [latex]f(x)=a_{0}+ [/latex] [latex] a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}+ [/latex] [latex] O((x-x_{0})^{n})[/latex], то многочлен [latex]A=a_{0}+[/latex][latex]a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}[/latex] и будет многочленом Тейлора в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}[/latex].
Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:
latex a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} &s=1.
Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.
Замечание:
Пусть [latex]f(x)[/latex] — бесконечно дифференцируема в точке [latex]0[/latex].
Если функция [latex]f(x)[/latex] — четная, то [latex]f'[/latex] — нечетная, [latex]f»'[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n+1)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f'(0)=f»'(0)=…[/latex] [latex] =f^{(2n+1)}(0)=0[/latex].
Если функция [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то [latex]f»[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f»(0)=…= f^{(2n)}(0)=0[/latex].
Вывод:
Если [latex]f(x)[/latex] — четная, то формула Тейлора будет для нее содержать только четные степени, если [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то формула Тейлора будет разлагаться только по нечетным степеням.
Источники:
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Теорема о единственности разложения по формуле Тейлора»).
Отбросить равные слагаемые в обеих частях уравнения.
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 1
Разложите в ряд Тейлора функцию latexy(x)=x2+4x−1 в точке latexx0=2. Каково значение свободного члена?
(буквами, например: «ноль», «один», «два», «три»)
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 1
Поставьте соответствия так, чтобы получить правильные утверждения.
Элементы сортировки
четные степени
нечетные степени
четные и нечетные степени
Если f(x) - четная, то формула Тейлора будет для нее содержать
Если f(x) - нечетная, то формула Тейлора будет для нее содержать
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Тест по теме: единственность полинома Тейлора