Метка: ФСР однородной системы

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{l l} 2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\ 4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\ 2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1 \end{array} \right.$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

$$\left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \sim \left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim$$
$$\sim \left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)$$ Последняя матрица равносильна следующей системе: $$\left\{ \begin{array}{l l} 2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\ & &-8x_3&-11x_4&=0 \end{array} \right.$$ Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные: $$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\ x_3&=-\frac{11}{8}x_4 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\ x_3&=-\frac{11}{8}x_4 \end{array} \right.$$ Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\ 3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\ 4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\ 3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0 \end{array} \right.$$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.

$$A = \left(\left.\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & -3 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \\ 3 & 8 & 24 &-19 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim \left(\left.\begin{matrix} 1&2&4&-3\\ 0&-1&-6&5\\ 0&-3&-18&15\\ 0&2&12&-10 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim$$ $$\sim \left(\left.\begin{matrix} 1&2&4&-3\\ 0&-1&-6&5\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)$$ Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$. $$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\ &-x_2&-6x_3&-15x_4&=0 \end{array} \right.$$ Общее решение исходной СЛАУ: $$\left\{ \begin{array}{l l} x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\ x_2 & = &-6x_3 &+5x_4 \end{array} \right.$$ ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных: $$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline c_1 & & & 1 & 0\\ \hline c_2 & & & 0 & 1 \end{array}$$ Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\ \hline c_2 & -7 & 5 & 0 & 1 \end{array}$$ Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$.

Литература

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест