Метка: функция нескольких переменных

Пусть $f$ – действительная функция, определенная на интервале $(a, b)\subset \mathbb R$. Производной функции $f$ в точке $x_0\in(a, b)$ мы называли предел $$\lim_{h\to\infty}=\frac{f(x_0+h) — f(x_0)}{h}=f'(x_0). \qquad \left( 12.3 \right)$$ Функцию $f$ называли дифференцируемой в точке $x_0$, если $$f(x_0+h)=f(x_0) + Ah + \overline{o}(h) \quad (h \to 0).$$ Ранее было показано, что дифференцируемость эквивалентна наличию производной.

Определим линейную функцию на прямой равенством $A(h)=f'(x_0)h\ (h \in \mathbb R)$. Тогда равенство $(12.3)$ можно переписать в виде $$\lim_{h\to\infty}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-A(h)}{|h|}=0, \qquad \left( 12.4 \right)$$ а определение дифференцируемости можно сформулировать так: функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, если существует такая линейная функция $A$, что выполняется равенство $(12.4)$. В таком виде определение дифференцируемости может быть перенесено на многомерный случай.

Определение. Пусть функция $f:E\mapsto\mathbb R$ задана некотором открытом множестве $E \subset \mathbb R^n$ и точка $x_0 \in E$, если существует такая линейная форма $A: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R$, что выполняется равенство $$\lim_{h\to\infty}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-A(h)}{|h|}=0. \qquad \left( 12.5 \right)$$ Эта линейная форма $A$ называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$. Её называют также дифференциалом функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $\textrm{d}f(x_0)$.

Равенство $(12.5)$ равносильно следующему соотношению: $$f(x_0+h)=f(x_0)+A(h)+r(h), \qquad \left( 12.6 \right)$$ где $\frac{r(h)}{|h|}\to 0$ при $h \to 0$. В этом случае пишут, что $r(h)=\overline{o}(h)$ и поэтому вместо $(12.6)$ можно записать $$f(x_0+h)=f(x_0)+A(h)+\overline{o}(|h|). \qquad \left( 12.7 \right)$$
Если положить $h=x-x_0$, то условие дифференцируемости $(12.7)$ можно переписать в следующем виде: $$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\overline{o}(|x-x_0|). \qquad \left( 12.8 \right)$$

Обозначим $\lambda(x)=f(x_0)+A(x-x_0)$. Функция $\lambda$ достаточно хорошо приближает функцию $f$ вблизи точки $x_0$. Эта функция $\lambda$ является аффинной (аффинной называется функция вида $\lambda(x)=A(x)+c$, где $A$ — линейная форма, т.е. аффинная функция — это сдвиг линейной формы на постоянную $c$).

Графиком функции $f:E\mapsto\mathbb R\ (E\subset\mathbb R^n)$ называется множество точек $(x^1,\ldots ,x^n,z)\in\mathbb R^{n+1}$, удовлетворяющих условию $z=f(x^1,\ldots,x^n)$, где $x\in E$, а $x^1,\ldots,x^n$ — координаты вектора $x$.

Пусть $Q$ — некоторое множество в $\mathbb R^m$. Расстоянием от точки $x_0$ до множество $Q$ называется число $$d(x_0,Q)=\inf_{y\in Q}|x_0-y|.$$

Определение. Пусть функция $f:E\mapsto\mathbb R$, где открытое множество $E \subset \mathbb R^n$, и пусть $Q$ — график функции $f$ в $\mathbb R^{n+1}$. Гиперплоскость $H$ в $\mathbb R^{n+1}$ называется касательной гиперплоскостью к графику функции $f$ в точке $w_0=(x_0^1,\ldots,x_0^n,z_0)$, где $z_0=f(x_0)$, если эта гиперплоскость проходит через точку $w_0$ и выполнено условие $$\lim_{w \to w_0, w \in H}\frac{d(w,Q)}{|w-w_0|}=0. \qquad \left( 12.9 \right)$$

Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, $Q$ — график функции $f$. Тогда выполнено соотношение $$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\overline{0}(|x-x_0|).$$ Рассмотрим гиперплоскость $H$ в $\mathbb R^{n+1}$, определяемую уравнением $z=f(x_0)+A(x-x_0)$. Пусть $w=(x^1,\ldots,x^n,z)\in H$. Оценим, используя $(12.8)$, $$d(w,Q)\le|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)|=\overline{o}(|x-x_0|).$$ Но из неравенства $|x-x_0|\le|w-w_0|$ получаем, что выполнено соотношение (12.9). Таким образом, если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то в соответствующей точке $w_0$ её графика существует касательная гиперплоскость. Эта гиперплоскость задается уравнением $$z=f(x_0)+A(x-x_0),$$ где $A=f'(x_0)$. В этом состоит геометрический смысл производной.

Следует понимает, что $f'(x_0)\equiv \textrm{d}f(x_0)$ — это единый символ, определяющий линейную форму, т.е. производная — это не число, а линейная форма. При этом функция $f$ задана на некотором множестве $E \subset \mathbb R^n$, а $f'(x_0)$, как и всякая линейная форма, определена на всём пространстве $\mathbb R^n$. В то же время для любого $h \in \mathbb R^n$ значение линейной формы $f'(x_0)(h)$ является действительным числом.

Согласно нашему обозначению, производная и дифференциал — одно и то же понятие.

Итак, мы получаем отображение $x_0 \mapsto \textrm{d}f(x_0)$, которое каждой точке $x_0 \in E$ ставит в соответствие линейную форму $\textrm{d}f(x_0)$.

При $n = 1$ производной функции $f$ в точке $x_0$ мы называли число $$a=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Это равносильно тому, что $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{h}=0, \qquad \left( 12.10 \right)$$ а функция $f$ называлась дифференцируемой в точке $x_0$, если существует такое число $a$, что выполнено неравенство $(12.10)$.

В многомерном случае для определения производной мы используем линейную форму $A$. При $n = 1$ существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел $\mathbb R$ и множеством $\mathbb R^*$ всех линейных форм на $R$. Это соответствие получим, если каждому числу $a \in \mathbb R$ поставим в соответствие линейную функцию $A(h) = ah$.
Поэтому, используя вышесказанное, с точностью до изоморфизма можно
отождествлять множество всех линейных форм и множество всех действительных чисел.

В одномерном случае часто различают понятие производной и дифференциала. Именно, производной называется число $a$, его обозначают $f'(x_0)$, для которого справедливо равенство $$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+\overline{o}(h),$$ где первое слагаемое справа понимается как произведение двух чисел – $f’$ и $h$. Дифференциалом же называют линейную функцию на $\mathbb R$, которая действует по правилу $A(h) = f'(x_0)h\ (h \in \mathbb R)$. Эту линейную функцию обозначают $df(x_0)$ и можно записать $$f(x_0+h)-f(x_0)=\textrm{d}f(x_0)h+\overline{o}(h).$$ Здесь первое слагаемое справа понимается как значение линейной функции $\textrm{d}f(x_0)$ в точке $h$. Его можно обозначить также $\textrm{d}f(x_0)(h)$.

Замечание. В частном случае, если $f(x)=c$, где $c$ — постоянная, то $\textrm{d}f(x)=0$, где $0$ — нулевая линейная форма.

Теорема 1 показывает, что производная аффинной функции для всех точек $x \in \mathbb R^n$ имеет одно и то же значение $A$. Это является обобщеним того факта, что в одномерном случае производная аффинной функции постоянна, т. е. $(\alpha x + \beta)’ = \alpha$. С геометрической точки зрения графиком аффинной функции является гиперплоскость и она же является касательной для самой себя.

Замечание. Из непрерывности функции не следует дифференцируемость. Например, пусть $f(x) = |x|, x \in \mathbb R^n$. Тогда из неравенства $||x’|−|x»|| \le |x’ − x»|$ следует, что функция $f$ равномерно непрерывна на всем $\mathbb R^n$. Покажем, что в точке $x=0$ она не является дифференцируемой.
Действительно, предположим, что существует такая линейная форма $A$, что $$\lim_{h \to \infty}\frac{f(h)-f()-A(h)}{|h|}=0,$$ т.е. $$\lim_{h \to \infty}\frac{|h|-A(h)}{|h|}=0.$$ Отсюда следует, что $\frac{A(h)}{|h|}\to 1$ при $h \to 1$. Если теперь вместо $h$ взять $-h$, то получим, что $\frac{-A(h)}{|h|}\to 1$, или, что то же самое, $\frac{A(h)}{|h|}\to -1$. Тем самым, мы пришли к противоречию с единственностью предела.

Пример 1. Рассмотрим функцию $f(x, y)=x^2+y^2$ в окрестности точки $(x_0, y_0)$. Имеем $$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(x_0+h)^2\- (y_0+k)^2-x_0^2-y_0^2= \\ =\underbrace{2x_0h+2y_0k}_{линейная часть} +h^2+k^2=A(h,k)+r(h,k),$$ где  $A(h, k) = 2x_0h+2y_0k$ – линейная функция переменных $h$ и $k$, $r(h, k)=h^2+k^2=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2})$, поскольку $\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0$ при $(h, k)\to (0, 0)$. Тем самым мы доказали дифференцируемость функции $f$ в точке $(x_0, y_0)$ по определению.

Пример 2. Пусть $$f(x,y)= \begin{equation*} \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2>0, \\ 0, x=y=0. \end{cases} \end{equation*}$$
В окрестности каждой точки, кроме начала координат, эта функция
является частным двух непрерывных функций и знаменатель отличен от
нуля, так что она непрерывна. Докажем, что $f$ непрерывна и в точке $(0, 0).$ Для этого воспользуемся неравенством $2|xy|\le x^2+y^2$. Отсюда получим, что $|f(x,y)|\le\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$, а из этого неравенства вытекает, что $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).$$ Итак, функция $f$ непрерывна в каждой точке $(x,y)\in \mathbb R^2$.
Покажем, что она не является дифференцируемой в начале координат. Предположим противное. Тогда справедливо равенство $$\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}-\alpha h-\beta k=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}),$$ где $\alpha$ и $\beta$ — действительные числа. Если положим $k=0$, $h\neq 0$, то получим, что $−\alpha h = \overline{o}(|h|)$. Отсюда следует, что $\alpha = 0$. Аналогично находим, что $\beta = 0$. Таким образом, получаем равенство $$\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}),$$ или, поделив на $\sqrt{h^2+k^2}$, $$\frac{hk}{h^2+k^2}\to 0 \quad (\ (h,k)\to (0,0)\ ).$$ Но это невозможно, ибо если взять $h = k$, то получим $\frac{hk}{h^2+k^2}=\frac{1}{2}$, так что приходим к противоречию.

Пример 3. Рассмотрим функцию $f(x, y)=xy^2$. Функция дифференцируема на всей плоскости $OXY$. Действительно, ведь полное приращение имеет вид $$f(x+h,y+k)-f(x,y)=(x+h)(y+k)^2-xy^2=\\=y^2h+2xyk+(2yk+k^2)h+xk^2,$$ и положив $y^2h+2xyk=A(h,k)$, $xk^2+2yhk+hk^2=r(x,y)$, получим представление полного приращения вида аналогичного примеру 1.

Литература

• В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2010, ч.1, раздел 12.2 «Производная».(стр. 266 — 273).
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 381-383.

Производная

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить, как вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 23 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Объектом какого рода является производная в многомерном случае?

   • Число
   • Линейная форма
   • Квадратичная форма
   • Вектор
   Правильно
   

   Верно, это линейная форма!

   Неправильно
   

   Нет, правильный ответ — «линейная форма».
2. Задание 2 из 5

   2.

   Выберите правильные утверждения:

   • Дифференцируемость не эквивалентна существованию производной
   • Производная и дифференциал - разные обозначения одного и того же
   • Из непрерывности функции следует её дифференцируемость
   • Производная дифференцируемой функции единственна
   Правильно
   

   Верно!

   Неправильно
   

   Неправильно.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Если $f(x)=c$, где $c$ — постоянная, то $f'(x)=$
   Правильно
   

   Верно, производная постоянной — нулевая линейная форма!

   Неправильно
   

   Неверно, производная постоянной — нулевая линейная форма.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Исследуйте дифференцируемость функций:

   Элементы сортировки

   • Недифференцируема при $y=-x$
   • Недифференцируема при $xy=0$
   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема в точке $(0,0)$

   • $\sqrt[3]{x^3+y^3}$

   • $\cos \sqrt[3]{xy}$

   • $e^{-1/(x^2+y^2)},$ если $x^2+y^2>0$ и $f(0,0)=0$

   • $\sqrt{x^2+y^2}$

   Правильно
   

   Верно!

   Неправильно
   

   Неверно.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Сформулируйте теорему о производной аффинной функции

   • Пусть $f$ - действительная аффинная функция на $\mathbb R^n$, т. е. $f(x) = Ax + c$, где
   • $A$ – линейная форма, $c$ – действительная постоянная, $x \in \mathbb R^n$.
   • Тогда функция $f$ дифференцируема в каждой точке $x \in R^n$ и ее производная, или, что то же самое, дифференциал, равна
   • $\textrm{d}f(x) = A$
   Правильно
   

   Правильно!

   Неправильно
   

   Неправильно.