Метка: центр описанной окружности

M617. Треугольник с внутренними окружностями

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 2 выпуск)

Условие

Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$. Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

Решение

Пусть $ABC$ — данный треугольник и $O_1$, $O_2$, $O_3$ — центры конгруэнтных окружностей, касающихся пар его сторон, а $O_4$ — центр четвертой окружности — той, которая касается указанны трех (см. рисунок). Длины их радиусов обозначим через $\varrho$. Треугольник $O_1O_2O_3$ гомотетичен треугольнику $ABC$, так как его стороны соответственно параллельны сторонам треугольника $ABC$. Не трудно видеть, что центром этой гомотетии будет точка $N$, являющаяся одновременно центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и центром окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$. Действительно, прямые $AO_1$, $BO_2$, $CO_3$ являются биссектрисами углов как треугольника $ABC$, так и треугольника $O_1O_2O_3$, а точка $N$ — точка пересечения этих биссектрис.

Теперь заметим, что точка $O_4$ является центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$ (её расстояния до каждой из вершин этого треугольника равно $2\varrho$).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $N$, переводящую треугольник $O_1O_2O_3$ в треугольник $ABC$. Точка $O_4$ переходит при этом в некоторую точку $M$, лежащую на прямой $NO_4$. Мы уже знаем, что точка $O_4$ была центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$; следовательно, её образ — точка $M$ — будет центром окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Тем самым доказано утверждение задачи.

Нетрудно вычислить величину радиуса $\varrho$ этих четырех окружностей через $r$ и $R$ — радиусы вписанной в треугольник $ABC$ окружности и окружности, описанной около него.

Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$, равен $r -\varrho$, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен $2\varrho$.

Пусть $k$ — коэффициент рассмотренной выше гомотетии. Тогда $(r — \varrho)k = r$ и $2\varrho k = R$. Выразив $k$ из каждого соотношения и приравняв полученные выражения, найдем $$\frac{r}{r-\varrho} = \frac{R}{2\varrho}\;,$$ откуда $$\varrho = \frac{rR}{R+2r}\;.$$

А.Савин

M674. Геометрическая задача

Задача из журнала «Квант» (1981 № 3)

Условие

На сторонах $BC, AC, AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Известно, что центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника $ABC$ окружности совпадают с точкой пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$. Докажите что треугольники $ABC$ и $A_1B _1C _1$ подобны.

Решение

Пусть $A_0,B_0,C_0$ -середины сторон треугольника $ABC$. $O$ центр описанной около него окружности. Треугольник $A_0B_0C_0$ подобен треугольнику $ABC$, а точка $O$ является точкой пересечения его высот.

Рассмотрим преобразования подобнo $F=H_O^k*R_O^k$ где $k= \frac{1}{\cos(α)}$. При этом точки $F(A_0), F(B_0)$ и $F(C_0)$ будут принадлежать прямым $BC, AC,$ и $AB$ соответственно. Таким образом, при изменение $α$ мы получаем целое семейство треугольников с общим ортоцентром, вписанных в треугольник $ABC$ и ему подобных. Осталось показать, что треугольник $A_1B_1C_1$ принадлежит этому семейству.

Выберем $α= ∠B_0OB_1$ так, что $F(B_0)=B_1$; пусть $F(A_0)=A_2, F(C_0)=C_2$ Точка $O$ служит пересечением высот треугольников $A_1B_1C_1$ и $ F(A_0B_0C_0)= A_2B_1C_2$; значит, сторона $A_2C_2$ должна быть параллельна стороне $A_1C_1$ или совпадать с ней. Но ясно, что высота треугольника $A_2B_1C_2$, опущенные из вершины $A_2$ и $C_2$, не могут пройти через $O$, за исключением того случая, когда $A_1B_1C_1$ и $A_2B_1C_2$ совпадают.

В заключение заметим, что в это решение остроугольность $ABC$ не использовалась; утверждение верно для любого треугольника $ABC$, и любых точек $A_1,B_1,C_1$ и на прямых $BC,AC,AB$.