Определение

Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.

Примеры:

1. Группа корней n-ой степени из единицы $U_{n}$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.
2. Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.

 Лемма

Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство

Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.

Литература

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.23-27
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 c.401-403

Циклические группы и их подгруппы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на тему «Циклические группы и их подгруппы».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какая из групп является циклической?

   • $(\mathbb{Z},+)$
   • $(\mathbb{Z},\cdot)$
   • $(\left \{ 1;3;5;6;7 \right \},+)$
   • $(\left \{4;8;16;20 \right \},\cdot)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   
   
   Укажите порядок группы $(\left \{1,3,9,27,81 \right \},\cdot)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Расположите группы в порядке возрастания их образующих элементов.

   • $$(\left \{-8;-2;1;16 \right \},+)$$
   • $$(\mathbb{Z},+)$$
   • $$(\left \{1;5;125;3125 \right \},\cdot)$$
   • $$(\left \{1;12;144 \right \},+)$$
   Правильно
   

   Неправильно