Делители нуля

Пусть $R$ — кольцо, $a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$ . Числа $a,b$ называются делителями нуля кольца $R$ , причем $a$ — левый делитель нуля, $b$ — правый делитель нуля.

Пример 1:

$(C_{[-1;1]},+,\cdot)$ — кольцо непрерывных функций на промежутке $[-1,1]$ .

$f(x)=\begin{cases} x, 0\le x\le 1;\\ 0, -1\le x\le 0.\end{cases}$

$g(x)=\begin{cases} -x, -1\le x\le 0;\\ 0, 0\le x\le 1.\end{cases}$

$f(x)\cdot g(x)=0$

Пример 2:

Пусть дано $P=(M_{2}(R),+,\cdot)$

$\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}$

Из равенства видно, что в кольце $P$ присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце $P$ не действует закон сокращения. Если же в кольце $P$ нет делителей нуля, то

$a\cdot b=a\cdot c, a\ne 0 \Rightarrow b=c$ — закон сокращения.

Литература:

Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.28