1. Определить скалярное произведение векторов $latex X, Y$
$latex X=(2, 1, -1, 2)$, $latex Y=(3, -1, -2, 1)$.
Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:
$latex (X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9$
Ответ: 9.
2. Нормировать вектор $latex X=(1,3,0,-2)$
Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.
$latex |X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$
$latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$
Ответ: $latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$.
3. Определить угол между векторами $latex X, Y$
$latex X= (1, 2, 2, 3)$, $latex Y= (3, 1, 5, 1).$
Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$
Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:
$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}$
$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$
Ответ: угол между векторами $latex X,Y $ равен $latex 45^\circ$.
4.Определить косинусы внутренних углов треугольника $latex ABC$, заданного координатами вершин:
$latex A=(1,2,1,2)$, $latex B=(3,1,-1,0)$, $latex C=(1,1,0,1)$
Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.
$latex AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)$
$latex |AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}$
$latex CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)$
$latex |CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}$
$latex AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)$
$latex |AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}$
Воспользовавшись методом решения третей задачи, найдем косинусы углов $latex A, B, C$.
$latex \cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}$
$latex \cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}$
$latex \cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}$
Ответ: $latex \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}$, $latex \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}}$, $latex \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}$.
Литература:
- Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
- Фаддев Д.К. , Соминский И.С.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972, с.128
Тест