Метка: ядро Дирихле

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$-периодическую функцию $f(x)$. Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, где $$S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $$D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$: $$\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$$ Обозначим $$F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$$ тогда $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

1. $F_n(t)$ — четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция;
2. $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$;
3. $F_n(t) \ge 0$;
4. $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$.

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $$(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$$ $$=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, $0 < \delta < \pi$.

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$.

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$.


Спойлер
По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$. Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$, выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$.
Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$. Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$. Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$, то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$, и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$, что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$.
[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$. Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$, $$\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$.

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$.

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$$ $$\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$-периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$. Пусть $\left| f(x) \right| < M$. Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$, что $\forall n > N$ выполнено неравенство $$\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$$ $$\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$$

Аналогично для всех $n > N$: $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$.

Спойлер
Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$. Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$, $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$, $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$, $n = 1, 2, \ldots$. Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$.
[свернуть]

Литература

• Тер – Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 596-598
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 147-151

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Соотнесите выражения.

   Элементы сортировки

   • $\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
   • $\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

   • $D_n(t) =$

   • $F_n(t) =$

   • $\sigma_n(x) =$
2. Задание 2 из 5

   2.

   Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:

   • $F_n(t)$ - четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция
   • $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
   • $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.

   • равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
   • $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
   • ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
4. Задание 4 из 5

   4.

   Что такое суммы Фейера?

   • средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
   • среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
5. Задание 5 из 5

   5.

   К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$?

Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе

$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= }$$
$$=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int\limits_{ -\pi  }^{ \pi  }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi  }  }  }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$$ $$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$$

Обозначим
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }.$$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле

1. $\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$

2. $\quad  \frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.

3. $\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$
Доказательство
Для $n=0,1\ldots,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N$ имеем:
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } } =$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } (\sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } \cos { kt } } )=$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \left[ \sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sin { \frac { 2k+1 }{ 2 } t } -\sin { \frac { 2k-1 }{ 2 } } t) } \right] =$$
$$=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } ) } t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  }$$
[свернуть]

4. $\quad \int\limits _{ -\pi  }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi  }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$

Следствие

Пусть $0<\delta <\pi ,\quad  x\in [-\pi,\pi ]$, $\quad 2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$$

Доказательство
В силу полученного выше равенства,
$${{ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+}$$
$$+\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ \delta  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt.$$
Поэтому достаточно показать, что последнее слагаемое справа стремится к нулю при $n\rightarrow \infty$.  При фиксированном $x\in [-\pi ,\pi ]$ на отрезке $t\in [\delta ,\pi ]$ функция $\frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  }$ абсолютно интегрируема и поэтому, в силу теоремы Римана:
$${\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt=}$$
$$=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ \delta  }^{ \pi  }{ { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  }  } } )t\cdot \frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } dt\rightarrow 0,$$
$$(n\rightarrow \infty ).$$
[свернуть]

Теорема(принцип локализации)

Пусть $2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$. Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
$$\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$$
где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$

Разложение в ряд Фурье линейной функции ($f\left( x \right) =kx+b$)



Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Том 2. стр 138-141.
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа. 3-е издание. 2001 год стр 572-576.

Тест

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
Информация
Проверьте свои знания
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
• Тест окончен
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 6

   1.

   $2\pi$ — периодическая функция, задаваемая следующей формулой

   $${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }$$ называется

   • (Ядро Дирихле, ядро Дирихле, ядром Дирихле, Ядром Дирихле)
2. Задание 2 из 6

   2.

   Разложите функцию $f\left( x \right) =\sin { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$ ($a$ — не целое).

   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right]$
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }$
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right]$
3. Задание 3 из 6

   3.

   Разложить в ряд Фурье на интервале $\left( -\pi ,\pi \right)$ следующие функции:

   Элементы сортировки

   • $\frac { 2 }{ 3 } { \pi }^{ 2 }+4\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 } } } \cos { nx }$
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right]$
   • $\frac { 2{ \sinh { \pi a } } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } }$
   • $1-\frac { 1 }{ 2 } \cos { x } +2\sum _{ n=2 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 }-1 } } \cos { nx }$

   • $$f\left( x \right) ={ \pi }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }$$

   • $$f\left( x \right) =\cos { ax }$$ ($a$ - не целое)

   • $$f\left( x \right) =\sinh { ax }$$

   • $$f\left( x \right) =x\sin { x }$$
4. Задание 4 из 6

   4.

   Укажите свойства ядра Дирихле

   • ${ D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,...)$
   • ${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }$
   • $\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,...)$
   • ${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx }$
   • ${ D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \quad (n=0,1,...,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\epsilon N)$
5. Задание 5 из 6

   5.

   Можно ли разложить функцию $f\left( x \right) =\cos { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$, если $a$ — не целое.
6. Задание 6 из 6

   6.

   Запишите интеграл Дирихле.

   • $\frac { 1 }{ \pi  }$
   • $\int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }$
   • ${ D }_{ n }(t-x)$
   • $f(t)$
   • $dt$



Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

максимум из 18 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных