Ряд Тейлора

Ряды Тейлора
Определение и основные свойства
Если f\left ( x \right ) определена в U_{\delta }\left ( x_{0} \right ) и \exists f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )  k=1,2,..., то степенной ряд вида \sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k} называется рядом Тейлора функции f в точке x_{0}. Пусть функция представима виде степенного ряда f\left ( x \right )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left ( x-x_{0} \right )^{n} \mid x-x_{0}\mid<R. Тогда f бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости, а коэффициенты ряда a_{n}=\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}.
Таким образом степенной ряд для f совпадает с рядом Тейлора этой функции в точке x_{0}.
Замечание. Пусть f бесконечно дифференцируема в точке x_{0}. Тогда можно выписать её ряд Тейлора.
\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}
Пример. Разложить  функцию f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2 в ряд Тейлора по степеням \left ( x-1 \right ).
Решение:
f\left ( a \right )=f\left ( 1 \right )=1+4-3+2=4
{f}'\left ( x \right )=\left ( x^{3}+4x^{2}-3x+2 \right )=3x^{2}+8x-3
{f}'\left ( a \right )={f}'\left ( 1 \right )=3+8-3=8
{f}''\left ( x \right )=\left ( 3x^{2}+8x-3 \right )'=6x+8
{f}''\left ( a \right )={f}''\left ( 1 \right )=6+8=14
{f}'''\left ( x \right )=\left ( 6x+8 \right )'=6=const
{f}'''\left ( a \right )={f}'''\left ( 1 \right )=6
{f}^{\left ( 4 \right )}\left ( x \right )=\left ( 6 \right )'=0, все производные, начиная с четвертой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем все в формулу Тейлора:
f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2=4+\frac{8}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{14}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{6}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+0+0+0+...=4+8\left ( x-1 \right )+7\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{3}.
Рисунок показать
Источники

Ряды Тейлора

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Ряды Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Радиус сходимости степенного ряда. Первая теорема Абеля.

Радиус сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} на комплексной плоскости (или степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} на действительной числовой оси), то есть такое число r, что ряд сходится при любых\mid z\mid<r (соответственно при \mid x\mid<r ) и расходится при \mid z\mid>r (соответственно при \mid x\mid>r ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться.  Если же ряд сходится на всей числовой прямой R,  то мы можем утверждать, что R=\infty.
В точках x=\pm R общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).

Существование радиуса сходимости.

 

Для всякого степенного ряда вида \sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n} \exists R

\left ( R\geq 0 \right ), либо \left ( R=+\infty\right ):

a) если R\neq 0 и R\neq+\infty, то ряд сходится в круге
K=\left \{ z \right. : \left.\mid z\mid <R\mid\right \} и расходится вне круга K.

б) если R=0, то ряд сходится только в одной точке z=0.

в) если R=+\infty, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство:

Пусть D — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).

D\neq 0

Если D — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.

\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D: \mid z_{0}\mid>\mid\widetilde{z}\mid тогда по теореме Абеля ряд сходится в \widetilde{z}
\left ( R = + \infty \right ).

Пусть D — ограниченное. Если D одноточечное множество, то ряд сходится при z_{0}=0 и расходится  \forall z\neq 0. Если  D содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid

\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n} — сходится,

K=\left \{ z\right.: \mid z\mid<\left. R\mid\right \}

\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid<R

По ограниченности sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid<\mid z_{1}\mid<R.

\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty сходится. Пусть теперь {z}'\in K\left ( \mid{z}'\mid >R \right )\Rightarrow {z}'\notin D, то есть ряд расходится в точке {z}'. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.

Рисунок показать

Теорема Абеля

Если степенной ряд \sum\limits_{n=0 }^{\infty }c_{n}z^{n} сходится в точке при z=z_{0}\neq 0, то он сходится абсолютно при любом z таком, что \mid z\mid <\mid z_{0}\mid, а если этот ряд расходится в точке z=z_{1}, то он будет расходится \forall z: \mid z\mid >\mid z_{1}\mid.

Доказательство показать

Первая теорема Абеля

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Первая теорема Абеля

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных