Ряд Тейлора

Ряды Тейлора
Определение и основные свойства
Если [latex]f\left ( x \right )[/latex] определена в [latex]U_{\delta }\left ( x_{0} \right )[/latex] и [latex]\exists f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )[/latex]  [latex]k=1,2,…[/latex], то степенной ряд вида [latex]\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}[/latex] называется рядом Тейлора функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex]. Пусть функция представима виде степенного ряда [latex]f\left ( x \right )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left ( x-x_{0} \right )^{n}[/latex] [latex]\mid x-x_{0}\mid[/latex]<[latex]R[/latex]. Тогда [latex]f[/latex] бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости, а коэффициенты ряда [latex]a_{n}=\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}[/latex].
Таким образом степенной ряд для [latex]f[/latex] совпадает с рядом Тейлора этой функции в точке [latex]x_{0}[/latex].
Замечание. Пусть [latex]f[/latex] бесконечно дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex]. Тогда можно выписать её ряд Тейлора.
[latex]\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}[/latex]
Пример. Разложить  функцию [latex]f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2[/latex] в ряд Тейлора по степеням [latex]\left ( x-1 \right )[/latex].
Решение:
[latex]f\left ( a \right )=f\left ( 1 \right )=1+4-3+2=4[/latex]
[latex]{f}’\left ( x \right )=\left ( x^{3}+4x^{2}-3x+2 \right )=3x^{2}+8x-3[/latex]
[latex]{f}’\left ( a \right )={f}’\left ( 1 \right )=3+8-3=8[/latex]
[latex]{f}»\left ( x \right )=\left ( 3x^{2}+8x-3 \right )’=6x+8[/latex]
[latex]{f}»\left ( a \right )={f}»\left ( 1 \right )=6+8=14[/latex]
[latex]{f}»’\left ( x \right )=\left ( 6x+8 \right )’=6=const[/latex]
[latex]{f}»’\left ( a \right )={f}»’\left ( 1 \right )=6[/latex]
[latex]{f}^{\left ( 4 \right )}\left ( x \right )=\left ( 6 \right )’=0[/latex], все производные, начиная с четвертой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем все в формулу Тейлора:
[latex]f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2=4+\frac{8}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{14}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{6}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+0+0+0+…=4+8\left ( x-1 \right )+7\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{3}[/latex].
Спойлер

3333

[свернуть]
Источники

Ряды Тейлора

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Ряды Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *