Ряд Тейлора

Ряды Тейлора
Определение и основные свойства
Если f\left ( x \right ) определена в U_{\delta }\left ( x_{0} \right ) и \exists f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )  k=1,2,..., то степенной ряд вида \sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k} называется рядом Тейлора функции f в точке x_{0}. Пусть функция представима виде степенного ряда f\left ( x \right )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left ( x-x_{0} \right )^{n} \mid x-x_{0}\mid<R. Тогда f бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости, а коэффициенты ряда a_{n}=\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}.
Таким образом степенной ряд для f совпадает с рядом Тейлора этой функции в точке x_{0}.
Замечание. Пусть f бесконечно дифференцируема в точке x_{0}. Тогда можно выписать её ряд Тейлора.
\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}
Пример. Разложить  функцию f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2 в ряд Тейлора по степеням \left ( x-1 \right ).
Решение:
f\left ( a \right )=f\left ( 1 \right )=1+4-3+2=4
{f}'\left ( x \right )=\left ( x^{3}+4x^{2}-3x+2 \right )=3x^{2}+8x-3
{f}'\left ( a \right )={f}'\left ( 1 \right )=3+8-3=8
{f}''\left ( x \right )=\left ( 3x^{2}+8x-3 \right )'=6x+8
{f}''\left ( a \right )={f}''\left ( 1 \right )=6+8=14
{f}'''\left ( x \right )=\left ( 6x+8 \right )'=6=const
{f}'''\left ( a \right )={f}'''\left ( 1 \right )=6
{f}^{\left ( 4 \right )}\left ( x \right )=\left ( 6 \right )'=0, все производные, начиная с четвертой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем все в формулу Тейлора:
f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2=4+\frac{8}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{14}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{6}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+0+0+0+...=4+8\left ( x-1 \right )+7\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{3}.
Спойлер

3333

[свернуть]
Источники

Ряды Тейлора

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Ряды Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Радиус сходимости степенного ряда. Первая теорема Абеля.

Радиус сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} на комплексной плоскости (или степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} на действительной числовой оси), то есть такое число r, что ряд сходится при любых\mid z\mid<r (соответственно при \mid x\mid<r ) и расходится при \mid z\mid>r (соответственно при \mid x\mid>r ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться.  Если же ряд сходится на всей числовой прямой R,  то мы можем утверждать, что R=\infty.
В точках x=\pm R общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).

Существование радиуса сходимости.

 

Для всякого степенного ряда вида \sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n} \exists R

\left ( R\geq 0 \right ), либо \left ( R=+\infty\right ):

a) если R\neq 0 и R\neq+\infty, то ряд сходится в круге
K=\left \{ z \right. : \left.\mid z\mid <R\mid\right \} и расходится вне круга K.

б) если R=0, то ряд сходится только в одной точке z=0.

в) если R=+\infty, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство:

Пусть D — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).

D\neq 0

Если D — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.

\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D: \mid z_{0}\mid>\mid\widetilde{z}\mid тогда по теореме Абеля ряд сходится в \widetilde{z}
\left ( R = + \infty \right ).

Пусть D — ограниченное. Если D одноточечное множество, то ряд сходится при z_{0}=0 и расходится  \forall z\neq 0. Если  D содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid

\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n} — сходится,

K=\left \{ z\right.: \mid z\mid<\left. R\mid\right \}

\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid<R

По ограниченности sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid<\mid z_{1}\mid<R.

\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty сходится. Пусть теперь {z}'\in K\left ( \mid{z}'\mid >R \right )\Rightarrow {z}'\notin D, то есть ряд расходится в точке {z}'. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.

Спойлер

666

[свернуть]

Теорема Абеля

Если степенной ряд \sum\limits_{n=0 }^{\infty }c_{n}z^{n} сходится в точке при z=z_{0}\neq 0, то он сходится абсолютно при любом z таком, что \mid z\mid <\mid z_{0}\mid, а если этот ряд расходится в точке z=z_{1}, то он будет расходится \forall z: \mid z\mid >\mid z_{1}\mid.

Спойлер

a)

Возьмем K_{0}=\left \{ z \right.: \mid z\mid<\left. \mid z_{0}\mid\right \}
Пусть q=\mid\frac{z}{z_{0}}\mid<1
Так как \sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n} — сходится в точке z_{0}, то есть
\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z_{0}^{n}<\infty, то можно утверждать, что \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_{n}z^{n}=0, то есть \left \{ c_{n}z^{n} \right \} — ограничена: \exists M:\forall n\in N:\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid\leq M
\mid c_{n}z^{n}\mid=\mid\left ( c_{n}z_{0}^{n} \right )\left ( \frac{z^{n}}{z_{0}^{n}} \right )\mid=\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid\mid\frac{z}{z_{0}}\mid^{n}\leq M q^{n}\leq M
Получили, что \sum\limits_{0}^{\infty}Mq^{n} — сходится.
Значит по признаку сравнения ряд \sum\limits_{0}^{\infty}\mid c_{n}z^{n}\mid — сходится абсолютно \forall z\in K_{0}.
б) Пусть \sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n} расходится в точке z_{1}.
Тогда он расходится \forall\mid\tilde{z}\mid>z_{1}, так как в противном случае, если бы ряд сходился в точке \tilde{z}, то по а) он должен был бы сходится и в точке z_{1}.
Теорема доказана.

[свернуть]

Первая теорема Абеля

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Первая теорема Абеля

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1618. О векторах и правильных многоугольниках

Задача из журнала «Квант» (1997, №6)

Условие

В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю.Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра точки считаются правильным «двуугольником»), если :

  1.  n = 6;
  2.  n = 8;
  3.  n = 9;
  4. n = 12.
  5. Будет ли аналогичное утверждение, верным при любом n?

Автор задачи: В. Сендеров.

Решение

Ответ на общий вопрос 5) отрицательный. Приведем пример для n = 30, т.е. укажем «неправильную» систему векторов, ведущих из центра O = (0; 0) в некоторые вершины тридцатиугольника, сумма которых равана нулю, среди среди которых нет k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника при k = 2, 3 и 5 (а тем самым и при любом k, не превосходящем 30).
Пусть A(1; 0) — одна из вершин тридцатиугольника, тогда B(-1; 0) — противоположная вершина. Направим векторы в вершины правильного пятиугольника, одна из которых A, и в вершины правильного треугольника, одна из которых B, а затем удалим векторы \underset{OA}{\rightarrow}, \underset{OB}{\rightarrow} (они дают в сумме нуль). Оставшиеся шесть векторов (см. рисунок) составляют нужную систему.
my_english_is_not_horoshii
Разумеется, здесь (и ниже) вы используем тот факт, что сумма k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника из его центра, равна нулю; это следует, например, из того, что сумма не меняется при повороте всей картины вокруг центра на угол \frac {2\pi}{k}. Заметим, что для проекций векторов, один из которых имеет координаты (0; 1), этот факт по существу эквивалентен тождеству
$$1 + \cos \frac{2\pi}{k} + \cos \frac{4\pi}{k} + … + \cos \frac{2(k-1)\pi}{k} = 0$$
(для четного k оно очевидно, для любого k легко доказывается после умножения на \sin \frac{\pi}{k} ). Аналогично, в примере на рисунке можно провести доказательство прямым подсчетом: чтобы убедиться, что сумма векторов равна нулю, нужно проверить тождество \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} (здесь удобно домножить левую часть на \sin \frac{\pi}{5}).
<p>Перейдем теперь к отрицательным результатам 1) — 4), показывающим, что для малых n такой пример не построить. Сформулируем простую лемму. Пусть \underset{OA}{\rightarrow}, \underset{OB}{\rightarrow}, \underset{OC}{\rightarrow} и \underset{OD}{\rightarrow} — различные единичные векторы. Тогда:

  1. если \underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}, то A, B, C — вершины правильного треугольника;
  2.  если \underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}, то векторы разбиваются на две пары взаимно противоположных (т.е. A, B, C, D являются вершинами прямоугольника).

Докажем 2. Пусть точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке. Тогда из равенства
\frac{\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}}{2} + \frac{\underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow}}{2} = \underset{0}{\rightarrow} следует, что середины хорд AB и CD равноудалены от O, откуда AB = CD; аналогично, BC = DA, так что ABCD — вписанный параллелограмм, т.е. прямоугольник. Доказательство 1 еще проще: из равенств вида \frac{\underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow}}{2} = -\frac{\underset{OA}{\rightarrow}}{2} ясно, что середины хорд BC, CA и AB равноудалены от точки O. Значит, BC = CA = AB.
При n <= 9 в системе векторов, о которой идет речь в задаче, либо в дополняющей ее до n системе не более четырех векторов. По лемме, эту систему можно разбить на правильные k-угольники (k = 2 или k = 3).
Значит, этим же свойством обладает и дополнительная система вершин.
Тем самым, пункты 1) — 3) задачи решены.
В пункте 4) можно рассуждать так. Пусть система содержит вектор (1; 0) и не содержит противоположный вектор (-1; 0). Докажем, что тогда она содержит и векторы (\cos \frac{2\pi}{3}; \pm \sin {2\pi}{3}).
В самом деле, среди наших 10 векторов (не считая (1; 0) и противоположного) три пары дают в проекции на ось Ox рациональные числа
$$\cos (\pm \frac{\pi}{3}) = \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {2\pi}{3}) = — \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {\pi}{2}) = 0$$,
две пары — иррациональные числа; ясно, что получить в сумме из этих чисел нужную минус единицу можно, лишь используя две (-1/2).
Используя результаты статьи «Многочлены деления круга» («Квант» №1, 1998), нетрудно доказать, что при n = p и n = 2p, где p — простое число, нетривиальных систем векторов с суммой нуль не существует, а при любом n, имеющем не менее трех разных простых множителей, такая система существует.
Один из способов построения нужных примеров — использование корней многочленов деления круга с коэффициентами +1 и -1; например, равенство многочлена {\Phi}_{15}(\xi) = 0, где \xi — один из корней {\Phi}_{15}, дает пример «неправильной семерки» векторов. Оно же позволяет получить такую же шестерку векторов, как на рисунке.
Однако остается немало вопросов, связанных с этой задачей.
Например, существует ли пример для n = 15 (из сказанного выше следует, что для n < 15 его нет), для n вида {p}^{a} и {p}^{a} * {q}^{b}, где p и q простые? Существует ли для некоторого n неправильная система из 5 векторов , идущих в вершины правильного n-угольника, суммой нуль (не содержащая меньших правильных подсистем)? Возможно ли система, которую, в отличие от построенных выше примеров, нельзя получить не только как «сумму», но и как «алгебраическую сумму» (т.е. «сложением» и «вычитанием») правильных подсистем?

Авторы решения: Н. Васильев, В. Сендеров.