Аддитивная группа направленных отрезков

Теорема:

Множество направленных отрезков произвольной прямой, произвольной плоскости или пространства относительно операции сложения образуют абелеву группу.

Доказательство показать

Литература :

Равенство направленных отрезков

Определение:

Пусть задано два вектора \overline{AB} и \overline{CD}. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка A перейдет в C, а точка B — в D.

\overline{AB}=\overline{CD}
A'=C
B'=D
Вектор

Литература :

Операция сложения

Определение:

Суммой двух векторов \overline{AB} и \overline{CD} назовём вектор \overline{AD'}, получающийся после параллельного переноса вектора \overline{CD}, так, что точка C переходит в точку B.

\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD'}
Сумма

 

Литература :

Величина вектора на оси

Определение 1:

Прямая линия с заданным на ней направлением называется осью.
Ось

Определение 2:

Пусть задана ось и вектор a на ней. Величиной вектора \{a\} на оси называется вещественное число, равное длине вектора, если его направление совпадает с направлением оси и противоположное число в противном случае.

\{a\}=\left |a\right |
\{b\}=-\left |b\right |
Ось

 

Литература :

  • Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  • В.А. Ильин, Э.Г Позняк Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988 — стр.12-13.

Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису

Задача №1

Условие задачи

Векторы e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе:

e_1=(1, 1, 1), e_2=(1, 1, 2), e_3=(1, 2, 3); x_f=(6, 9, 14); x_e=?.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1-ый показать
Способ 2-ой показать

Задача №2

Условие задачи

Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

e_1=(1, 2, 1), e_2=(2, 3, 3), e_3=(3, 7, 1)e'_1=(3, 1, 4), e'_2=(5, 2, 1), e'_3=(1, 1, -6).

Решение показать

Задача №3

Условие задачи

Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

a_{1}=(1, 0, 0, -1)a_{2}=(2, 1, 1, 0)a_{3}=(1, 1, 1, 1)a_{4}=(1, 2, 3, 4)a_{5}=(0, 1, 2, 3).

Решение показать

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1984 — стр.167-170.
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.52.

Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

Тест на знание темы «Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису»

Таблица лучших: Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных