Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису


Определение 1
Пусть задано линейное пространство $X$ над полем $\mathbb{P}$  $(X,\mathbb{P})$. Это линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число $M \in \mathbb{N}$, что любая ЛНЗ система векторов пространства содержит не более $M$ векторов, в противном случае оно называется бесконечномерным.

Определение 2
Пусть $(X,\mathbb{P})$ — конечномерное пространство. Базисом пространства $X$ называется ЛНЗ система векторов, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Определение 3
Размерностью конечномерного пространства $X$ называется число векторов любого его базиса. Обозначается как $dimX$.

Определение 4
$\langle e_1,e_2,\ldots,e_m \rangle$ — старый базис
$\langle g_1,g_2,\ldots,g_m \rangle$ — новый базис
$x=\sum_{j=1}^{m}\alpha_je_j=\sum_{i=1}^{m}\beta_ig_i$
Тогда:
$\left\{\begin{matrix}g_{1}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ g_{2}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ \ldots\\ g_{m}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\end{matrix}\right.$ — система, описывающая переход от старого базиса к новому.

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.19.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 — стр.60-63.

Конечномерность

Определение 1. Пусть линейное пространство называется конечномерным, если существует такая константа $M \in \mathbb{N}$, так что любая линейно независимая система (далее ЛНЗ) содержит не более $M$ векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Замечание. Нулевое пространство будем считать конечномерным.

Пример 1. Бесконечномерным пространством является $(R[x], \mathbb{R})$. Рассмотрим систему векторов $\left\langle 1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\rangle.$ Это система ЛНЗ, так как из равенства $\alpha_{0} \cdot 1+\alpha_{1}\cdot x+\alpha_{2} \cdot x^{2}+\ldots+\alpha_{k}\cdot x^{k}=0$ следует, что $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}= \ldots =\alpha_{k}=0.$ Так как $k$ произвольно, то не существует ограничения $M$.

Пример 2. Пусть $X$ — конечномерное пространство. Рассмотрим в нем ЛНЗ систему, содержащую максимальное число векторов: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\rangle.$ Дополняя эту систему произвольным векторм $y$, получаем уже линейно зависимую систему: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, y\right\rangle.$ Тогда вектор $y$ линейно выражается через исходную систему, а именно: $$y=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\ldots+\alpha_{m} x_{m}.$$

Лемма 1. Каждое подпространство конечномерного пространства в свою очередь конечномерно.

Лемма 2. Каждое подпространство есть линейная оболочка некоторой своей системы.

Конечномерность

Тест для проверки знаний по теме «Конечномерность».

Литература

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 44-47)