Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, а функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные вдоль кривой $\Gamma$, то существует криволинейный интеграл II рода $\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)$ и справедливо равенство:
$$\int\limits_{\Gamma}(F,\,dr)=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi}_{i}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){x’}_{i}(t)\,dt.$$

Примеры

  1. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$$

  2. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$, где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$$

  3. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$$ $$=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$$

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Для того чтобы $ \int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy $ при любых кривых $\left(AB \right) \subset \left( T \right)$ где $ \left( T \right)$ — это двухмерное пространство, не зависел от пути интегрирования $\left(AB \right)$ , а зависел только от положения начальной и конечной точек $A$ и $B$, необходимo и достаточно, чтобы $\int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$ для любого замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$

Необходимость

Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Тогда для произвольного замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$ изображенного на рисунке.

Произвольный замкнутый контур

Рисунок: Произвольный замкнутый контур

имеем

$$ \int\limits_{\left( L \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + $$$+ Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0 $

Так как интеграл не зависит от пути интегрирования.

Достаточность

Докажем, что при выполнении условии теоремы

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy $$
Для этого докажем, что разность левой и правой частей этого равенства равнв нулю:

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)} Pdx + $$ $ + Qdy = \int\limits_{\left( ACBDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$

как интеграл по закнутому контуру.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл при помощи формулы Ньютона-Лейбница.

$$ \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}ydx + xdy $$

Решение: показать

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}\left ( x + y \right)dx + xdy$

Решение: показать
Литература
  1. А. Р. Лакерник, «Высшая математика краткий курс», Логос, 2008, стр. 404-414
  2. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа стр. 505-508

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.