Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Для того чтобы $ \int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy $ при любых кривых $\left(AB \right) \subset \left( T \right)$ где $ \left( T \right)$ — это двухмерное пространство, не зависел от пути интегрирования $\left(AB \right)$ , а зависел только от положения начальной и конечной точек $A$ и $B$, необходимo и достаточно, чтобы $\int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$ для любого замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$

Необходимость

Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Тогда для произвольного замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$ изображенного на рисунке.

Произвольный замкнутый контур

Рисунок: Произвольный замкнутый контур

имеем

$$ \int\limits_{\left( L \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + $$$+ Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0 $

Так как интеграл не зависит от пути интегрирования.

Достаточность

Докажем, что при выполнении условии теоремы

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy $$
Для этого докажем, что разность левой и правой частей этого равенства равнв нулю:

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)} Pdx + $$ $ + Qdy = \int\limits_{\left( ACBDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$

как интеграл по закнутому контуру.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл при помощи формулы Ньютона-Лейбница.

$$ \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}ydx + xdy $$

Спойлер

$P = y, Q = x$. Так как $\frac{dP}{dy} = 1 = \frac{dQ}{dx}$, так как этот интеграл не зависит от пути интегрирования то

$$ \varphi = \left( x,y \right) = \int\limits_{0}^{x} P \left( t,0 \right)dt + \int\limits_{0}^{y} Q \left( x,u \right)dy = \int\limits_{0}^{1} 0 dt + \int\limits_{0}^{y}xdu = xy \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}xdy + ydx = xy \mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} = -13 $$

[свернуть]

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}\left ( x + y \right)dx + xdy$

Спойлер

$$\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}P + \left ( x, y \right) dx + Q \left ( x , y \right)dy = \int\limits_{a}^{b} \left[ P \left ( x, y \right) + Q \left ( x, y \right) \frac {dy}{dx} \right]dx , \Rightarrow $$ $\Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x, y \right) dx + xdy = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x + x + x\right) dx = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} 3xdx = 3\left[ \left( \frac{{x}^{2}}{2} \right)\mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \right] = $

$$ = 3\left[ \frac{16}{2} — \frac{49}{2} \right] = 3 \left( — \frac{33}{2} \right) = — \frac{49}{2} $$

[свернуть]
Литература
  1. А. Р. Лакерник, «Высшая математика краткий курс», Логос, 2008, стр. 404-414
  2. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа стр. 505-508

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования: 2 комментария

  1. — В вопросе «Почему разность левой и правой части этого равенства равна нулю» в правой части ноль. Т.е. Вы хотите отнять ноль и спросить что будет? Может просто спросить справедливо ли равенство?
    — Когда рисунок вставляется средствами Wordpres, есть возможность добавить подпись. Сейчас вместо подписи у Вас h3? что соответствует заголовку подраздела.
    — Точки в заголовках любого уровня не ставятся.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *